Докажите, что система сравнений #\begin{cases} x \equiv a_{1} (\mod b_{1}),& \\ x \equiv a_{2} (\mod b_{2}) \end{cases}# имеет решения, если #\text{НОД}(b_{1},b_{2}) = 1# Верно ли обратное утверждение?
Подробнее
(Китайская теорема об остатках)Докажите, что система сравнений: #\begin{cases} x \equiv a_{1} (mod b_{1}), x \equiv a_{2} (mod b_{2}), \cdots x \equiv a_{n} (mod b_{n}), \end{cases}#
имеет решение, если числа #b_{i} (i = 1, 2, \cdots, n)# попарно взаимно просты.
Подробнее
Существует ли такой многочлен #f(x)# с целочисленными коэффициентами, что #f(1) = 1, f(5) = 2?#
Подробнее
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 7 и дающее в остатке 1 при делении на 2, 3, 4, 5, 6.
Подробнее
Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 дает остаток 2, при делении на 4 дает остаток 3, при делении на 5 дает остаток 4 и при делении на 6 дает остаток 5.
Подробнее
Найдите первые три положительные решения в целых числах уравнения Пелля #x^{2} - 2y^{2} = 1.#.
Подробнее
Выведите рекуррентные формулы для нахождения всех положительных целочисленных решений уравнения Пелля #x^{2} - Ay^{2} = 1.#
Подробнее
Воспользовавшись рекуррентными формулами, найдите первые три положительные решения в целых числах уравнения Пелля
#x^{2} - 2y^{2} = 1.#
Подробнее
Воспользовавшись рекуррентными формулами, найдите первые три положительные решения в целых числах уравнений Пелля:
1) #x^{2} - 3y^{2} = 1;#
2) #x^{2} - 8y^{2} = 1.#
Подробнее
Докажите, что решения уравнения Пелля #x^{2} - Ay^{2} = 1# при #x \geq 0# образуют группу относительно операции #*:(x; y) * (x^{prime};y^{prime}) = (xx^{prime} + Ayy^{prime};xy^{prime} + yx^{prime})# Какой известной группе изоморфна данная группа?
Подробнее
Рассматривается последовательность $\{ C_{n} \}$:
$C_{1} = a_{1}+a_{2}+ \cdots + a_{8}$
$ C_{1} = a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ \cdots + a_{8}^{2}$
$\cdots$
$ C_{n} = a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+ \cdots + a_{8}^{n}$
$\cdots$
где $a_{1}, \cdots, a_{8}$ — действительные числа, не все равные нулю. Среди членов последовательности бесконечно много равных нулю. Найдите все $n$, для которых $C_{n}=0$.
Подробнее
В спартакиаде, продолжавшейся $n$ дней, было разыграно $m$ медалей. В I день были вручены 1 медаль и еще $\frac{1}{7}$ оставшихся $m-1$ медалей. Во II день были вручены 2 медали и еще $\frac{1}{7}$ оставшихся после этого медалей и т. д. Наконец, в $n$-й последний день были вручены оставшиеся $n$ медалей. Сколько дней продолжалась спартакиада и сколько медалей было вручено?
Подробнее
Дана система уравнений с переменными $x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}$:
$\begin{cases}
ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=x_{2},&\\
ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=x_{3},&\\
\cdots,&\\
ax_{n-1}^{2}+bx_{n-1}+c=x_{n},&\\
ax_{n}^{2}+bx_{n}+c=x_{1},&
\end{cases}
$
где $a,b,c$ — действительные числа, $a \neq 0$. Докажите, что система:
а) не имеет действительных решений, если
$(b-1)^{2} – 4ac < 0$;
б) имеет единственное действительное решение, если
$(b-1)^{2} – 4ac <= 0$;
в) имеет более одного действительного решения, если
$(b-1)^{2} – 4ac > 0$.
Подробнее
Функция $f$, определенная при всех действительных значениях аргумента и принимающая действительные значения, при всех $x$ удовлетворяет условию
$f(x+a)= \frac{1}{2} + \sqrt{f(x)-(f(x))^{2}}$,
где $a$ — некоторое положительное число.
а) Доказать, что функция $f$ периодическая (т. е. существует
некоторое $b>0$, такое, что $f(x+b)=f(x)$ для всех $x$).
б) Приведите пример такой функции $f$, отличной от тождественной константы, для $a=1$.
Подробнее
Докажите, что если $x_{1}>0,x_{2}>0 $ и $x_{1}y_{1} – z_{1}^{2} >0$,
$x_{2}y_{2} – z_{2}^{2},$ то $\frac{8}{(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2}) – (z_{1}+z_{2})^{2}} \leq \frac{1}{x_{1}y_{1} –z_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}y_{2}-z_{2}^{2}}$.
Установите необходимые и достаточные условия, при которых в данном неравенстве имеет место равенство.
Подробнее
