Пусть $Q(x)$ - ненулевой многочлен. Доказать, что для каждого $n \in \mathbf{Z}^{+}$ многочлен $P(x) = (x -1)^{n}Q(x)$ имеет не менее $n + 1$ ненулевых коэффициентов.
Подробнее
Пусть М - множество всех многочленов вида
$P(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d (a, b, c, d \in \mathbf{R})$,
удовлетворяющих неравенству $|P(x)| \leq 1$ при $x \in [—1; 1]$. Доказать, что некоторое число $k$ осуществляет оценку для всех многочленов $P(x) \in M$. Найти наименьшее значение $k$.
Подробнее
Пусть $p$ и $q$ - произвольные натуральные числа. Доказать, что существует такой многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами, что для всех значений из некоторого интервала $I \subset \mathbf{R}$ длины $1/q$ выполнено неравенство $|P(x) - p/q| < 1/q^{2}$.
Подробнее
Найти все пары многочленов $P(x), Q(x)$ третьей степени с действительными коэффициентами, удовлетворяющие четырем условиям:
а) оба многочлена в каждой из точек $x = 1, 2, 3, 4$ принимают значение 0 или 1;
б) если $P(1) = 0$ или $P(2)=1$, то $Q(1) = Q(3)=1$;
в) если $P(2) = 0$ или $P(4) = 0$, то $Q(2) = Q(4) = 0$;
г) если $P(3) =1$ или $P(4) = 1$, то $Q(1) = 0$.
Подробнее
Многочлен $P(x)$ степени $n$ удовлетворяет равенствам $P(k) = k/(k + 1)$ при $k = 0,1, \cdots, n$. Найти $P(n + 1)$.
Подробнее
Многочлен $P(x)$ степени $n$ удовлетворяет равенствам $P(k) = 1/C_{n+1}^{k}$ при $k = 0, 1, \cdots, n$. Найти $P(n+1)$.
Подробнее
Пусть заданы целые числа $x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{n}$. Доказать, что среди значений многочлена $x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n}$ в точках $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$ найдется такое число, которое по модулю не меньше чем $n!/2^{n}$.
Подробнее
Многочлен $P(x)$ имеет степень, не большую $2n$. Известно, что для каждого целого $k \in [-n; n]$ выполнено неравенство $|P(k)| \leq 1$. Доказать, что для любого числа $x \in [-n; n]$ справедлива оценка $|P(x)| \leq 2^{2n}$.
Подробнее
Докажите, что дробь $\frac{21n + 4}{14n+3}$ несократима ни при каких натуральных значениях $n$.
Подробнее
При каких действительных значениях $x$ имеет место каждое из равенств:
а) $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = \sqrt{2}$;
б) $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 1$;
в) $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 2$
(причем рассматриваются только положительные значения корня)?
Подробнее
Пусть $x$ - угол и пусть четыре действительных числа $a, b, c$ и $\cos x$ удовлетворяют соотношению:
$a \cos^{2} x + b \cos x + c = 0$.
Составьте квадратичное соотношение относительно $a, b, c$ и $\cos 2x$. Сравните данное и составленное соотношения для случая $a = 4, b = 2, c = -1$.
Подробнее
Определите все трехзначные числа, которые при делении на 11 дают в частном число, равное сумме квадратов цифр исходного числа.
Подробнее
Для каких действительных значений $x$ справедливо неравенство
$\frac{4x^{2}}{(1 - \sqrt{1+2x})^{2}} < 2x + 9$?
Подробнее
Решить систему уравнений:
$ \begin{cases}
x+y+z = a,&\\
x^{2}+y^{2}+z^{2} = b^{2},&\\
xy = z^{2},&,
\end{cases}
$
в которой $a$ и $b$ - данные числа. Каким условиям должны удовлетворять $a$ и $b$, чтобы решения системы были положительны и различны?
Подробнее
Решите уравнение
$\cos^{n} x - \sin^{n} x =1$,
где $n$ - произвольное натуральное число.
Подробнее
