Доказать, что многочлен $P(z)$ представляет собой четную функцию от $z \in \mathbf{C}$ тогда и только тогда, когда существует многочлен $Q(z)$, удовлетворяющий тождеству
$P(z) \equiv Q(z)Q(-z), z \in \mathbf{C}$.
Подробнее
Доказать, что если многочлен $P(x)$ с действительными коэффициентами принимает при всех $x \in \mathbf{R}$ только неотрицательные значения, то он представим в виде
$P(x) = Q_{1}^{2}(x)+ \cdots + Q_{n}^{2}(x)$,
где $Q_{1}(x), \cdots, Q_{n}(x)$ - некоторые многочлены с действительными коэффициентами.
Подробнее
Пусть $A(n)$ - множество многочленов вида
$P(x) =a_{0} + a_{1}x + \cdots + a_{n}x^{n}$,
где $0 \leq a_{0} = a_{n} \leq a_{1} = a_{n-1} \leq \cdots \leq a_{[n/2]} = a_{[(n+1)/2]}$. Доказать, что если $P(x) \in A(n)$ и $Q(x) \in A(m)$, то многочлен $P(x) \: Q(x)$ принадлежит множеству $A(m + n)$.
Подробнее
Для каких значений $n \in \mathbf{N}$ существуют ненулевые многочлены $P$ и $Q$ от $n$ переменных с целыми коэффициентами, удовлетворяющие тождеству
$(x_{1} x_{2} + \cdots + x_{n})P(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) \equiv Q(x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, \cdots, x_{n}^{2}), x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in \mathbf{R}$?
Подробнее
Пусть для многочленов $P(x), Q(x)$ степени больше 0 обозначено
$P_{c} = \{ z \in \mathbf{C} | P(x) = c \}, Q_{c} = \{z \in \mathbf{C}| Q(z) = c \}$.
Доказать, что если $P_{0} = Q_{0}$ и $P_{1} = Q_{1}$ то $P(x) \equiv Q(x), x \in \mathbf{R}$.
Подробнее
Доказать, что если многочлены $P(x,y), Q(x, y), R(x, y)$ степени меньше $m \in \mathbf{N}$ удовлетворяют тождеству
$x^{2m}P(x, y) + y^{2m}Q(x, y) \equiv (x + y)^{2m}R(x, y), x, y \in \mathbf{R}$,
то
$P(x, y) \equiv Q(x, y) \equiv R(x, y) \equiv 0$.
Подробнее
При каких ограничениях на целые числа $p$ и $q$:
а) многочлен $P(x) = x^{2} + px + q$ принимает при всех $x \in \mathbf{Z}$ четные (нечетные) значения;
б) многочлен $Q(x) = x^{3} + px + q$ принимает при всех $x \in \mathbf{Z}$ значения, делящиеся на 3?
Подробнее
Доказать, что многочлен
$P(x) = \frac{1}{630} x^{9} - \frac{1}{21}x^{7} + \frac{13}{30} x^{5} - \frac{82}{63}x^{3} + \frac{32}{35} x$
при всех $x \in \mathbf{Z}$ принимает целые значения.
Подробнее
Найти все значения $x \in \mathbf{Z}$, при которых многочлен $2x^{2} – x – 36$ принимает значения, равные квадратам простых чисел.
Подробнее
Для заданных чисел $p, q \mathbf{R}$ найти все значения, которые многочлен $P(x) = x^{2} + px + q$ принимает при $x \in [-1; 1]$.
Подробнее
Найти хотя бы одно множество М, состоящее из 7 последовательных натуральных чисел, для которого существует многочлен $P(x)$ пятой степени со следующими свойствами:
а) все коэффициенты многочлена $P(x)$ - целые числа;
б) для пяти чисел $k \in M$, включая наименьшее и наибольшее числа, выполнено равенство $P(k) = k$;
в) $P(k) = 0$ для одного числа $k \in M$.
Подробнее
а) Доказать, что не существует многочлена $P(x)$, для которого при любом $x \in \mathbf{R}$ выполнены неравенства: 1) $P^{\prime}(x) > P^{\prime \prime}(x)$ и 2) $P(x) > P^{\prime \prime}(х)$.
б) Будет ли верно утверждение а), если неравенство 1) заменить неравенством $1^{\prime}) P(x) > P^{\prime}(x)$?
Подробнее
Пусть заданы многочлены $P_{0}(x), P_{1}(x), \cdots, P_{n}(x)$ с действительными коэффициентами и числа $a_{1}, \cdots, a_{n} \in \mathbf{R}$. Доказать, что если функция
$f(x) = P_{0}(x) + \sum_{k=1}^{n} a_{k}|P_{k}(x)|$
не принимает никакое значение более чем в одной точке $x \in \mathbf{R}$, то множество всех ее значений есть $\mathbf{R}$.
Подробнее
Пусть $\{a_{n}\}$ - последовательность чисел (Фибоначчи), определяемая равенствами $a_{1} = a_{2} = 1, a_{n+2} = a_{n+1} +a_{n} (n \in \mathbf{N})$. Доказать, что если многочлен $P(x)$ степени 990 удовлетворяет условиям $P(k) = a_{k}$ при $k = 992, \cdots, 1982$, то $P(1983) = a_{1983} - 1$.
Подробнее
Пусть на координатной плоскости задана кривая, являющаяся графиком некоторого
многочлена
$P(x) = x^{4} + px^{3} + qx^{2} + rx + s (p, q, r, s \in \mathbf{R})$.
Прямую на этой плоскости назовем горизонтальной, если она параллельна оси абсцисс и пересекает кривую в четырех точках $A, B, C, D$ (перечисленных по порядку слева направо). Если, кроме того, длины отрезков АВ, АС и AD могут являться длинами сторон некоторого треугольника, то такую прямую назовем триангулярной. Доказать, что возможны только два случая: либо все горизонтальные прямые триангулярны, либо все они не являются триангулярными.
Подробнее
