В параллелограмме $ABCD$ треугольник $ABD$ остроугольный. $\left | АВ \right | = a, \left | AD \right | = 1$ и величина угла $\widehat{BAD} = \alpha$. Докажите, что четыре круга $K_{A}, K_{B}, K_{C}, K_{D}$ радиуса 1, центры которых в вершинах $А, В, С, D$, тогда и только тогда, покрывают параллелограмм, когда $a \leq \cos \alpha + \sqrt{3} \sin \alpha$.
Подробнее
В тетраэдре длина одного, и только одного, ребра больше 1. Докажите, что объем тетраэдра не превосходит $\frac{1}{8}$.
Подробнее
Даны два остроугольных треугольника $А_{0}B_{0}C_{0}$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$. Постройте треугольник $ABC$, подобный треугольнику $A_{1}B_{1}C_{1}$ (вершина $A$ соответствует $A_{1}, B-B_{1}, C – C_{1}$), описанный около треугольника $А_{0}B_{0}C_{0}$, так, что $C_{0} \in AB, A_{0} \in BC, B_{0} \in CA$. Постройте такой треугольник $ABC$, имеющий максимальную площадь.
Подробнее
Докажите, что существует единственный треугольник, длины трех сторон которого — последовательные натуральные числа, а один из углов вдвое больше одного из двух других углов.
Подробнее
Докажите, что в любом тетраэдре имеется такая вершина, что из отрезков, равных выходящим из этой вершины ребрам,
можно построить треугольник.
Подробнее
Для каждого $k=1,2,3,4,5$ найдите необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять число $a>0$, для того, чтобы существовал тетраэдр, $k$ ребер которого имеют длину $a$, а остальные $6-k$ ребер—длину $l$.
Подробнее
Полуокружность $\gamma$ построена на диаметре $AB$. Точка $C$ лежит на $\gamma$ и отлична от $A$ и $B$. Ортогональную проекцию $C$ на $AB$ обозначим через $D$. Рассмотрим три окружности $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3} $ имеющие $AB$ в качестве общей касательной; из них $\gamma_{1}$ вписана в треугольник $ABC, \gamma_{2}$ и $\gamma_{3}$ обе касаются отрезка $CD$ и $\gamma$. Докажите, что $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ имеют вторую общую касательную.
Подробнее
В плоскости даны $n>4$ точек, причем никакие три не лежат на одной прямой. Покажите, что можно найти не менее $C_{n-3}^{2}$ выпуклых четырехугольников с вершинами в четырех данных точках.
Подробнее
Дан треугольник $ABC, M$ — внутренняя точка стороны $AB$. Пусть $r_{1}, r_{2}, r$ — радиусы окружностей, вписанных соответственно в треугольники $AMC, BMC, ABC; \rho_{1}, \rho_{2} \rho$ — радиусы окружностей: а) лежащих внутри угла $ACB$, б) являющихся вневписанными соответственно для треугольников $AMC, BMC, ABC$.
Докажите, что $\frac{r_{1} \cdot r_{2}}{ \rho_{1} \cdot \rho_{2}} = \frac{r}{ \rho}$.
Подробнее
В тетраэдре $ABCD DB \perp DC$ и основание перпендикуляра, проведенного через точку $D$ к плоскости треугольника $ABC$, совпадает с ортоцентром этого треугольника. Докажите, что $(|AB| + |BC| + |AC|)^{2} \leq 6 (|AD|^{2} + |BD|^{2} + |CD|^{2})$. Для каких тетраэдров имеет место равенство?
Подробнее
На плоскости заданы 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Рассматриваются все возможные треугольники с вершинами в этих точках. Докажите, что среди них будет не более 70% остроугольных треугольников.
Подробнее
Пусть имеется выпуклый многогранник $P_{1}$ с девятью вершинами $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{9}$. Обозначим через $P_{2}, P_{3} , \cdots , P_{9}$ многогранники, полученные из $P_{1}$ параллельными переносами, которые перемещают точку $A_{1}$ соответственно в точки $A_{2}, A_{3}, \cdots, A_{9}$. Докажите, что по крайней мере два из многогранников $P_{1}, P_{2}, \cdots , P_{9}$ имеют хотя бы одну общую внутреннюю точку.
Подробнее
Каждая грань тетраэдра $ABCD$ — остроугольный треугольник. Рассмотрим все замкнутые ломаные линии $XYZTX$, определенные следующим образом: $X$ — точка на ребре $AB$, отличная от $A$ и $B$. Аналогично $Y, Z, T$ — внутренние точки ребер $BC, CD, DA$ соответственно. Докажите, что:
а) если $\hat{DAB} + \hat{BCD} \neq \hat{ABC} + \hat{CDA}$, то среди этих ломаных нет ни одной кратчайшей;
б) если $\hat{DAB} + \hat{BCD} = \hat{ABC} + \hat{CDA}$, то существует бесконечно много ломаных минимальной длины и эта длина равна $2 |AC| \sin \frac{\alpha}{2}$, где $\alpha = \hat{BAC} + \hat{CAD} + \hat{DAB}$.
Подробнее
Докажите, что следующее утверждение справедливо для любого $n \geq 4$: произвольный вписанный четырехугольник можно разбить на $n$ четырехугольников, вокруг каждого из которых можно описать окружность.
Подробнее
Даны четыре различные параллельные плоскости. Докажите, что существует правильный тетраэдр с вершинами на каждой из этих плоскостей.
Подробнее
