Точка $O$ лежит на прямой $l; \vec{OP_{1}} , \vec{OP_{2}}, \cdots , \vec{OP_{n}}$ — единичные векторы, такие, что точки $P_{1}, P_{2}, \cdots, P_{n}$ лежат в одной плоскости, содержащей $l$, и все по одну сторону oт $l$. Докажите, что если $n$ нечетное, то $|\vec{OP_{1}} + \vec{OP_{2}} + \cdots + \vec{OP_{n}}| \geq 1$, где $|\vec{OM}|$ — длина вектора $\vec{OM}$.
Подробнее
Выясните, существует ли конечное множество $M$ точек в пространстве, не лежащих в одной плоскости, такое, что для любых двух точек $A, B$, принадлежащих $M$, найдутся две другие точки $C,D$, принадлежащие $M$, такие, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны и не совпадают.
Подробнее
Солдат должен проверить отсутствие мин на участке, включающем границу и имеющем форму равностороннего треугольника. Радиус действия его детектора равен половине высоты треугольника. Солдат выходит из одной вершины треугольника. Какой путь он должен выбрать, чтобы пройти наименьшее возможное расстояние и выполнить задание?
Подробнее
В треугольнике $ABC$ величины углов при вершинах $A, B$ и $C$ равны соответственно $\alpha, \beta $ и $\gamma$. Докажите, что неравенство
$\sin \alpha \cdot \sin \beta \leq \sin^{2} \frac{\gamma}{2}$
является необходимым и достаточным условием для того, чтобы
на отрезке $AB$ нашлась точка $D$, такая, что величина $CD$ является средним геометрическим величин $AD$ и $BD$.
Подробнее
Дан куб $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$. $ABCD$ и $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ - соответственно верхнее и нижнее основания и $AA^{\prime} \parallel BB^{\prime} \parallel CC^{\prime} \parallel DD^{\prime}$. Точка $X$ движется с постоянной скоростью по сторонам квадрата $ABCD$ в направлении $ABCDA$, и точка $Y$ движется с той же скоростью по сторонам квадрата $B^{\prime}C^{\prime}CB$ в направлении $B^{\prime}C^{\prime}CBB^{\prime}$. Точка $X$ и $Y$ начинают двигаться в один и тот же момент из исходных положений $A$ и $B^{\prime}$ соответственно. Найдите и начертите геометрическое место середин отрезков $XY$.
Подробнее
На окружности $K$ заданы три различные точки $A$, $B$, $C$. Построите (циркулем и линейкой) на окружности $K$ четвертую точку $D$ так, чтобы в полученный четырехугольник $ABCD$ можно было вписать окружность.
Подробнее
Дан равнобедренный треугольник $ABC$, $r$ — радиус описанной окружности, $\rho$ — радиус вписанной окружности. Докажите, что расстояние $d$ между центрами окружностей есть $d = \sqrt{r(r-2 \rho)}$.
Подробнее
Тетраэдр $SABC$ обладает следующим свойством: существуют 5 сфер, касающихся ребер $SA$; $SB$; $SC$; $AB$; $BC$; $CA$ или их продолжений.
Докажите: а) что тетраэдр $SABC$ правильный; б) что, обратно, для каждого правильного тетраэдра существуют 5 указанных сфер.
Подробнее
Найдите в пространстве геометрическое место вершин прямых углов, одна сторона которых проходит через данную точку $A$, а другая имеет по крайней мере одну общую точку с отрезком $BC$.
Подробнее
Докажите, что если в выпуклом $n$ - угольнике все углы равны и последовательные стороны удовлетворяют соотношениям:
$a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \cdots \geq a_{n}$, то $a_{1} = a_{2} = a_{3} = \cdots = a_{n}$.
Подробнее
Обозначим через $a, b, c$ длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что
$a^{2} (b+c-a) + b^{2} (c+a-b) + c^{2} (a+b-c) \leq 3abc$.
Подробнее
В треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$ вписан круг и построены к нему касательные, параллельные сторонам данного треугольника. Эти касательные отсекают от данного треугольника $ABC$ три новых треугольника. В каждый из таким образом построенных треугольников вписан круг. Вычислите сумму площадей всех четырех кругов.
Подробнее
На плоскости даны 5 точек. Среди прямых, соединяющих эти 5 точек, нет параллельных, перпендикулярных и совпадающих. Проводим через каждую точку перпендикуляры ко всем прямым, которые можно построить, соединяя попарно остальные 4 точки. Каково максимальное число точек пересечения этих
перпендикуляров между собой, не считая данные 5 точек?
Подробнее
Дан тетраэдр $ABCD$. Вершина $D$ соединена с центром тяжести основания точкой $D_{1}$. Через вершины треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные $DD_{1}$ до пересечения с плоскостями противоположных граней в точках $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Докажите, что объем тетраэдра $ABCD$ в три раза меньше объема тетраэдра $A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$. Будет ли верным результат, если точка $D_{1}$ - произвольная точка внутри треугольника $ABC$?
Подробнее
Дан тетраэдр $ABCD$. Пусть ребро $AB$ имеет длину $a$, ребро $CD$ имеет длину $b$; расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ равно $d$, величина угла между этими прямыми равна $\omega$. Тетраэдр рассечен на две части плоскостью $P$, параллельной противоположным ребрам $AB$ и $CD$. Вычислите отношение объемов обеих частей, если известно, что отношение расстояний от $AB$ до $P$ к расстоянию от $CD$ до $P$ равно $k$.
Подробнее
