Найти наименьшее число плоскостей, разбивающих куб не менее чем на 300 частей.
Подробнее
На плоскостях $\alpha$ и $\alpha^{\prime}$, пересекающихся по прямой $l$, выбрано но три точки: $A, B, C$ и $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ соответственно. Плоскость $\alpha^{\prime}$ вращается вокруг прямой $l$. Доказать, что если прямые $AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime}$ пересекаются в одной точке при некотором положении плоскости $\alpha^{\prime}$, то и при любом ее положении, отличном от плоскости $\alpha$, они также пересекаются в одной точке. Найти геометрическое место этих точек пересечения.
Подробнее
Рассматриваются повороты вокруг различных осей в пространстве, переводящие вершину $A$ куба $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ - в вершину $B$. Найти геометрическое место точек поверхности этого куба, являющихся образами вершины $C$ при таких поворотах.
Подробнее
Куб в пространстве с прямоугольной системой координат расположен так, что координаты некоторых 4 его вершин, не лежащих в одной плоскости, являются целыми числами. Доказать, что все вершины куба имеют целые координаты.
Подробнее
Доказать, что если прямоугольный параллелепипед можно разбить на прямоугольные параллелепипеды, каждый из которых имеет ребро целочисленной длины, то и исходный параллелепипед тоже имеет такое ребро.
Подробнее
Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе $c$, если известно, что медиана, проведенная к $c$, есть среднее геометрическое его катетов.
Подробнее
На плоскости дан отрезок $AB$ и внутри него произвольная точка $M$. На отрезках $AM$ и $MB$ как на сторонах построены квадраты $AMCD$ и $MBEF$, лежащие по одну и ту же сторону от $AB$. Окружности, описанные около квадратов, с центрами $P$ и $Q$ пересекаются, кроме точки $M$, еще в точке $N$.
а) Покажите, что прямые $AF$ и $BC$ проходят через точку $N$.
б) Покажите также, что при любом положении точки $M$ прямая $MN$ проходит через одну и ту же точку $S$.
в) Найдите геометрическое место середин отрезков $PQ$, когда $M$ перемещается по отрезку $AB$.
Подробнее
Даны две плоскости $P$ и $Q$, пересекающиеся по прямой $p$. В плоскости $P$ дана точка $A$ и в плоскости $Q$ - точка $C$. Ни одна из этих точек не лежит на прямой $p$. Постройте в плоскости $P$ точку $B$ и в плоскости $Q$ точку $D$, являющиеся вершинами равнобочной трапеции $ABCD (AB \parallel CD$) y в которую можно вписать круг.
Подробнее
Дан прямоугольный треугольник $ABC$, гипотенуза которого равна $a$ и разделена на $n$ равных частей ($n$ - нечетное число). Пусть $\alpha$ есть угол, под которым виден из точки $A$ тот из равных между собою отрезков, который содержит середину гипотенузы. Докажите, что $tg \: \alpha = \frac{4nh}{(n^{2} - 1)a}$, где $h$-высота треугольника.
Подробнее
Построите треугольник $ABC$, если известны $h_{a}, h_{b}, m_{a}$ ($h_{a}$ - высота, проведенная к стороне $a$, $h_{b}$ - высота, проведенная к стороне $b$, и $m_{a}$ - медиана к стороне $a$).
Подробнее
Дан куб $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ (см рис.).
а) Найдите геометрическое место середин отрезков $XY$, где $X$ - любая точка отрезка $AC$ и $Y$ - любая точка отрезка $B^{\prime}D^{\prime}$.
б) Найдите геометрическое место точек $Z$ отрезка $XY$, которые удовлетворяют соотношению $|ZY| = 2 |XZ|$.
Подробнее
Дана равнобочная трапеция с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$.
а) На оси симметрии трапеции построить точку $P$, из которой обе боковые стороны трапеции видны под прямыми углами.
б) Определите расстояние точки $P$ от одного из оснований трапеции.
в) При каких условиях возможно построение точки $P$ (рассмотрите возможные случаи)?
Подробнее
В прямой круговой конус вписан шар. Около этого шара описан прямой круговой цилиндр, основание которого лежит в плоскости основания данного конуса. $V_{1}$ - объем конуса и $V_{2}$ - объем цилиндра.
а) Докажите, что равенство $V_{1} = V_{2}$ невозможно.
б) Укажите наименьшее значение $k$, при котором имеет место равенство $V_{1} = kV_{2}$, и постройте для этого случая угол при вершине осевого сечения конуса.
Подробнее
Даны длины $a, b, c$ сторон треугольника, площадь которого $S$. Докажите, что имеет место соотношение. В каком случае имеет место равенство?
Подробнее
Дан треугольник $P_{1}P_{2}P_{3}$ и внутри него произвольная точка $P$. Пусть точки пересечения прямых $P_{1}P; P_{2}P; P_{3}P$ с противоположными сторонами $Q_{1}; Q_{2}; Q_{3}$. Докажите, что среди отношений
$\frac{|P_{1}P|}{|PQ_{1}|}; \frac{|P_{2}P|}{|PQ_{2}|}; \frac{|P_{3}P|}{|PQ_{3}|}$
имеется по крайней мере одно, не большее числа 2, и по крайней мере одно, не меньшее числа 2.
Подробнее
