Доказать, что если многочлен $P(x)$ степени $n$ с действительными коэффициентами не имеет действительных корней, то многочлен
$Q(x) = P(x) + \alpha P^{\prime}(x) + \cdots + \alpha^{n}P^{(n)}(x)$
при любом значении $\alpha \in \mathbf{R}$ тоже не имеет действительных корней.
Подробнее
Доказать, что для любого многочлена $P(x)$ степени $n > 1$, имеющего $n$ различных действительных корней $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$, справедливо равенство
$\frac{1}{P^{\prime}(x_{1})} + \frac{1}{P^{\prime}(x_{2})} + \cdots + \frac{1}{P^{\prime}(x_{n})} = 0$,
Подробнее
Доказать, что ненулевые многочлены $P$ и $Q$ с комплексными коэффициентами имеют одинаковые корни (одинаковой кратности) тогда и только тогда, когда функция $f(z) = |P(z)| - |Q(z)|$ имеет постоянный знак во всех точках $z \in \mathbf{C}$, в которых она отлична от нуля.
Подробнее
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{Z}^{+}$ многочлен $(x + 1)^{2n+1} + x^{n+2}$ делится на многочлен $x^{2} + x + 1$.
Подробнее
Доказать, что при любых значениях $n \in \mathbf{N}$ и $\alpha \in \mathbf{R}$, удовлетворяющих условиям $n \neq 1$ и $\sin \alpha \neq 0$, многочлен
$P(x) = x^{n} \sin \alpha – x \sin n \alpha + \sin (n-1) \alpha$
делится на многочлен
$Q(x) = x^{2} – 2x \cos \alpha + 1$.
Подробнее
Пусть многочлены $P(x), Q(x), R(x)$ и $S(x)$ удовлетворяют тождеству
$P(x^{5}) + xQ(x^{5}) + x^{2}R (x^{5}) \equiv (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) S(x)$.
Доказать, что многочлен $P(x)$ делится на многочлен $x – 1$.
Подробнее
Найти все многочлены $P(x)$, удовлетворяющие условию $P(0) = 0$ и тождеству
$P(x) \equiv \frac{1}{2}(P(x + 1) + P(x-1)), x \in \mathbf{R}$.
Подробнее
Найти все многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$xP(x - 1) \equiv (x-2)P(x), x \in \mathbf{R}$.
Подробнее
Найти все многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$(x - 1)P(x + 1) – (x + 2)P(x) \equiv 0, x \in \mathbf{R}$.
Подробнее
Найти все ненулевые многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$P(x^{2}) \equiv (P(x))^{2}, x \in \mathbf{R}$.
Подробнее
Найти все ненулевые многочлены $P(x)$, удовлетворяющие тождеству
$P(x^{2} – 2x) \equiv (P(x - 2))^{2}, x \in \mathbf{R}$
Подробнее
Найти все ненулевые многочлены $P(x)$ с действительными коэффициентами, удовлетворяющие тождеству
$P(x)P(2x^{2}) \equiv P(2x^{3} + x), x \in \mathbf{R}$.
Подробнее
Доказать, что для любого многочлена $P(x) \not \equiv x$ и любого числа $n \in \mathbf{N}$ многочлен
$Q_{n}(x) = P(\underbrace{P(\cdots P}_{n}(x) \cdots)) – x$
делится на многочлен $Q_{1}(x) = P(x) – x$.
Подробнее
Доказать, что если многочлены $P(x), Q(x), R(x)$ третьей степени с действительными коэффициентами удовлетворяют неравенствам $P(x) \leq Q(x) \leq R(x)$ при всех значениях $x \in \mathbf{R}$ и хотя бы в одной точке $x_{0} \in \mathbf{R}$ выполнено равенство $P(x_{0}) = R(x_{0})$, то для некоторого числа $k \in [0; 1]$ справедливо тождество
$Q(x) \equiv kP(x) + (1 - k)R(x), x \in \mathbf{R}$.
Можно ли утверждать то же самое для многочленов четвертой степени?
Подробнее
Дан многочлен $P(x) = ax^{2} + bx + c$, где $a \neq 0$. Доказать, что для любого числа $n \in \mathbf{N}$ не может существовать более одного многочлена $Q(x)$ степени $n$, удовлетворяющего тождеству $Q(P(x)) \equiv P(Q(x)), x \in \mathbf{R}$.
Подробнее
