Доказать, что для любых чисел $x \geq 0$ и $n \in \mathbf{N}$ справедливо неравенство
$[nx] \geq \frac{[x]}{1} + \frac{[2x]}{2} + \cdots + \frac{[nx]}{n}$.
Подробнее
Доказать, что если числа $a, b, c$ при каждом значении $n \in \mathbf{N}$ удовлетворяют равенству $[na] + [nb] = [nc]$, то хотя бы одно из чисел $a, b$ является целым.
Подробнее
Вычислить сумму $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{99}$, где обозначено
$a_{n} = \frac{1}{(n+1) \sqrt{n} + n \sqrt{n+1}}$.
Подробнее
Доказать, что для корней $x_{1}, x_{2}$ многочлена
$x^{2} + px - \frac{1}{2p^{2}}$, где $p \in \mathbf{R}, p \neq 0$,
выполнено неравенство $x^{2}_{1} + x^{4}_{2} \geq 2 + \sqrt{2}$.
Подробнее
Найти все пары действительных чисел $p, q$, для которых многочлен $x^{4} + px^{2} + q$ имеет 4 действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.
Подробнее
Доказать, что если корнями многочлена $x^{2} + px + 1$ являются числа $\alpha$ и $\beta$, а корнями многочлена $x^{2} + qx + 1$ - числа $\gamma$ и $\delta$, то справедливо равенство
$(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)( \alpha + \delta)(\beta + \delta) = q^{2} – p^{2}$.
Подробнее
Доказать, что для любых ненулевых значении $\alpha, \beta$ корни $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ многочлена
$\alpha x^{3} - \alpha x^{2} + \beta x + \beta$
удовлетворяют равенству
$(x_{1} + x_{2} + x_{3}) \left ( \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} \right ) = -1$.
Подробнее
Найти все значения $a$, при которых корни $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ многочлена $x^{3} – 6x^{2} + ax + a$ удовлетворяют равенству
$(x_{1} - 3)^{3} + (x_{2} - 3)^{3} + (x_{3} - 3)^{3} = 0$.
Подробнее
Пусть $a$ и $b$ - два из четырех корней многочлена $x^{4} + x^{3} – 1$. Доказать, что $ab$ - корень многочлена $x^{6} + x^{4} + x^{3} – x^{2} – 1$.
Подробнее
Про целые числа $a, b, c$ известно, что $a > 0$, а многочлен $ax^{2} + bx + c$ имеет два различных корня на интервале (0; 1). Доказать, что $a \geq 5$. Найти хотя бы одну пару чисел $b, c$ при $a = 5$.
Подробнее
Числа $a, b, c$ являются тремя из четырех корней многочлена $x^{4} – ax^{3} – bx + c$. Найти все такие тройки чисел $a, b, c$.
Подробнее
Доказать, что комплексные числа $a$ и $b$ удовлетворяют условию $a^{2} = 2b \neq 0$ тогда и только тогда, когда корни многочлена $x^{2} + ax + b$ образуют на комплексной плоскости две вершины равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого вершина прямого угла расположена в начале координат.
Подробнее
Многочлен
$P(x) = x^{n} + a_{1}x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + 1$
с неотрицательными коэффициентами $a_{1}, \cdots, a_{n-1}$ имеет $n$ действительных корней. Доказать, что
$P(2) \geq 3^{n}$.
Подробнее
Многочлен
$ax^{n} – ax^{n-1} + c_{2}x^{n-2} + \cdots + c_{n-2}x^{2} – n^{2}bx + b$
имеет ровно $n$ положительных корней. Доказать, что все Пи корни равны между собой.
Подробнее
Для некоторого многочлена $P(x)$ степени $n$ и некоторых чисел $a < b$ выполнены неравенства
$P(a) < 0, - P^{\prime} \leq 0, P^{\prime \prime} \leq 0, \cdots, (-1)^{n}P^{(n)} \leq 0$,
$P(b) > 0, P^{\prime}(b) \geq 0, P^{\prime \prime}(b) \geq 0, \cdots, P^{(n)}(b) \geq 0$.
Доказать, что все действительные корни многочлена $P(x)$ принадлежат интервалу $(a; b)$.
Подробнее
