Доказать, что для любых значений $m,n \in \mathbf{N}$ и любых чисел $x_{1}, \cdots , x_{n}, y_{1}, \cdots , y_{n} \in [0; 1]$, удовлетворяющих условиям $x_{i} + y_{i} = 1$ при $i = 1, \cdots ,n$, справедливо неравенство
$(1 – x_{1} \cdots x_{n})^{m} + (1 – y^{m}_{1}) \cdots (1 – y^{m}_{n}) \geq 1$.
Подробнее
Доказать, что для любых положительных чисел $a \leq b \leq c \leq d$ справедливо неравенство
$a^{b} b^{c} c^{d} d^{a} \geq b^{a} c^{b} d^{c} a^{d}$.
Подробнее
Доказать, что для любых чисел $n,k \in \mathbf{N}$, больших 1, справедливо неравенство
$\sum_{j=2}^{n^{k}} \frac{1}{j} > k \sum_{j=2}^{n} \frac{1}{j}$
Подробнее
Доказать, что если фиксированы два положительных числа $p < q$, то для любых чисел $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon \in [p; q]$ справедливо неравенство
$(\alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon) \left ( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta} + \frac{1}{\varepsilon} \right ) \leq$
$\leq 25 + 6 \left ( \sqrt{\frac{p}{q}} - \sqrt{\frac{q}{p}} \right )^{2}$.
Определить, при каких значениях $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$ достигается равенство.
Подробнее
Доказать, что для любых положительных чисел $a, b, c, d$ справедливо неравенство
$\sqrt[3]{ \frac{abc + abd + acd + bcd}{4}} \leq \sqrt{ \frac{ab + ac + ad + bc + bd + ad}{6}}$
Определить, при каких значениях $a, b, c, d$ достигается равенство.
Подробнее
Решить уравнение
$1 - |x+1| = \frac{[x]-x}{|x-1|}$.
Подробнее
Решить уравнение
$[\sqrt[3]{1}] + [\sqrt[3]{2}] + \cdots + [\sqrt[3]{x^{3}-1}] = 400$
в натуральных числах.
Подробнее
Доказать, что уравнение
$[x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345$
не имеет решений.
Подробнее
Для каждого значения $n \in \mathbf{N}$ определить, сколько решений имеет уравнение $x^{2} - [x^{2}] = {x}^{2}$ на отрезке $[1; n]$.
Подробнее
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ справедливо равенство
$[\sqrt{n} + \sqrt{n+1}] = [\sqrt{4n+2}]$.
Подробнее
Какие натуральные числа нельзя представить в виде $[n + \sqrt{n} + 1/2]$, где $n \in \mathbf{N}$?
Подробнее
Доказать, что среди членов последовательности ${a_{n}}$, заданной соотношениями
$a_{1} = 2, a_{n+1} = [(3/2)a_{n}]$ при $n \in \mathbf{N}$,
имеется бесконечно много четных и бесконечно много нечетных чисел.
Подробнее
Для каждого значения $n \in \mathbf{N}$ найти наибольшее значение $k \in \mathbf{Z}^{+}$, при котором число $[(3+ \sqrt{11})^{2n-1}]$ делится на $2^{k}$.
Подробнее
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$ имеет место оценка
${n \sqrt{2}} > 1/(2n \sqrt{2})$,
причем для любого $\varepsilon > 0$ найдется число $n \in \mathbf{N}$ удовлетворяющее неравенству
${n \sqrt{2}} < (1 + \varepsilon ) / (2n \sqrt{2})$.
Подробнее
а) Доказать, что для любых неотрицательных чисел $x, y$ справедливо неравенство
$[5x] + [5y] \geq [3x + y] + [3y + x]$.
б) Доказать, что число
$\frac{(5m)!(5n)1}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}$
является целым при всех значениях $m,n \in \mathbf{N}$.
Подробнее
