Найти число сторон правильного многоугольника, если для четырех его последовательных вершин А, В, С, D выполнено равенство
$\frac{1}{AB}= \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD}$
Подробнее
На окружности, вписанной в правильный 2n-угольник, взяты точки А и В. Доказать, что если диагонали, соединяющие противоположные вершины 2n-угольника, видны из точки А под углами $\alpha_{1}, \cdots , \alpha_{n}$, а из точки В под углами $\beta_{1}, \cdots , \beta_{n}$ соответственно, то
$tg^{2} \: \alpha_{1} + \cdots + tg^{2} \: \alpha_{n} = tg^{2} \: \beta_{1} + \cdots + tg^{2} \: \beta_{n}$.
Подробнее
Вершины выпуклого многоугольника с нечетным числом сторон окрашены так, что любые две соседние вершины имеют разный цвет. Доказать, что для всякой раскраски, удовлетворяющей этому условию, многоугольник можно разбить непересекающимися диагоналями на треугольники так, чтобы концы каждой диагонали имели разный цвет.
Подробнее
Средние линии равностороннего треугольника ABC делят его на четыре треугольника ADE, BDF, DEF и CEF, на сторонах которых отмечены середины К, L, М, N, О, Р, Q, R, S. Каждая из 15 полученных точек окрашена в один из двух цветов. Доказать, что найдутся 3 точки одного цвета, являющиеся вершинами равностороннего треугольника.
Подробнее
На плоскости нарисован угол величиной $180^{\circ}/n$, где число $n \in \mathbf{N}$ не делится на 3. Доказать, что с помощью циркуля и линейки этот угол можно разделить на 3 равных угла.
Подробнее
Доказать, что любые два диаметра выпуклого множества на плоскости имеют хотя бы одну общую точку.
Подробнее
Любой ли выпуклый четырехугольник можно разбить ломаной на две части, диаметр каждой из которых меньше диаметра исходного четырехугольника?
Подробнее
Доказать, что если $n$ точек на плоскости расположены так, что любая прямая, проходящая через две из них, содержит хотя бы еще одну из точек, то все они лежат на одной прямой.
Подробнее
Отрезки AВ и CD равны и не параллельны. Найти геометрическое место точек О, обладающих следующим свойством: отрезок, симметричный отрезку АВ относительно точки О, симметричен отрезку CD относительно некоторой прямой.
Подробнее
Доказать, что если множество на плоскости имеет более одного центра симметрии, то оно имеет их бесконечно много.
Подробнее
Доказать, что объединение $L$ осей симметрии множества $M$ на плоскости содержится в объединении осей симметрии множества $L$.
Подробнее
Множество на плоскости имеет две оси симметрии, пересекающиеся под углом $\alpha$, где число $\alpha/\pi$ иррационально. Доказать, что если это множество содержит более одной точки, то оно содержит бесконечно много точек.
Подробнее
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, большие 2, для которых на плоскости можно выбрать $n$ точек так, чтобы любые две из них являлись вершинами равностороннего треугольника, третьей вершиной которого служит также одна из выбранных точек.
Подробнее
Множество М получено из плоскости выбрасыванием трех различных точек А, В и С. Найти наименьшее число выпуклых множеств, объединением которых является множество М.
Подробнее
Доказать, что для любого значения $n \in \mathbf{N}$, большего некоторого числа $n_{0}$, всю плоскость можно разбить на $n$ частей, проведя несколько прямых, среди которых обязательно есть пересекающиеся. Найти наименьшее из таких значений $n_{0}$.
Подробнее
