Докажите, что если #p# - простое число, то число #C_{p}^{i}# при #1 \leq i \leq p-1# делится на #p.#р. Верно ли это утверждение, если число #p# не является простым?
Подробнее
Докажите, что число #C_{2n}^{n}# делится на любое простое число #p# такое, что #n < p \leq 2n.# .
Подробнее
Докажите, что число вида #n^{4} + 4 (n \in \mathbf{N}, n > 1)# всегда составное.
Подробнее
Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, дающих при делении на 3 остаток 2.
Подробнее
Докажите, что простых чисел вида #4k - 1# бесконечно много.
Подробнее
Из чисел от 1 до 1000! вычеркнуты все числа, делящиеся на 2, 3, 5 и 7. Какая часть первоначально взятых чисел осталась невычеркнутой?
Подробнее
Докажите, что среди чисел от 1 до #a# (включительно) имеется #\left [ \frac{a}{b} \right ]# чисел, делящихся на #b.#. (Через #\left [ \frac{a}{b} \right ]# обозначена целая часть числа #a/b#.)
Подробнее
Числа #b# и #c# взаимно просты. Сколько имеется чисел от 1 до #a,# делящихся хотя бы на одно из чисел #b,c?#
Подробнее
Найдите остаток от деления:
1) #14^{256}# на 17;
2)#6^{592}# на 11;
Подробнее
Докажите, что:
1) #11^{10} - 1# делится на 100;
2) #2222^{5555} + 5555^{2222}# делится на 7.
Подробнее
Найдите:
1) две последние цифры числа #2^{2004}#;
2) последнюю цифру числа #1998^{2001^{2004}}# .
Подробнее
Докажите, что числа вида: #12n + 5;# не могут быть квадратами целого числа.
Подробнее
Докажите, что если #a^{2} + b^{2}# делится на 7, то #a# и #b# делятся на 7.
Подробнее
Докажите, что каковы бы ни были целые числа #a,b,c# число #a^{2} + b^{2} + c^{2} + 1# не делится на 8.
Подробнее
Докажите, что если #a^{2} + b^{2} + c^{2}# делится на 9, то хотя бы одно из чисел #a^{2} - b^{2}, a^{2} - c^{2}, b^{2} - c^{2}# делится на 9.
Подробнее
