Докажите, что #a # не может быть четвертой степенью натурального числа, если #a - 5# делится на 9.
Подробнее
Докажите, что число вида #8n + 7# не может быть суммой квадратов трех целых чисел.
Подробнее
Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не может быть квадратом целого числа.
Подробнее
Докажите, что сумма четных степеней трех последовательных четных чисел не может равняться четной степени целого числа.
Подробнее
Ð ешите сравнения:
1) #2x + 1 \equiv 0 (\mod 7);#
2) #2x - 3 \equiv 0 (\mod 7);#
3) #2x + 3 \equiv 0 (\mod 6);#
4) #x^{2} \equiv -1 (\mod 13);#
5) #x^{2} \equiv -1 (\mod 11);#
6) #x^{2} \equiv 2 (\mod 31);#
7) #2x^{2} + 3x + 1 \equiv 0 (\mod 5);#
8) #2x^{2} + 4x + 2 \equiv 0 (\mod 8);#
Подробнее
Ð ешите системы сравнений:
1) #\begin{cases} x \equiv 3( \mod 5), & \\ x \equiv 1( \mod 8); & \end{cases}#
2) #\begin{cases} x \equiv 2( \mod 15), & \\ x \equiv 3( \mod 8); & \end{cases}#
3) #\begin{cases} 3x + 4 \equiv 0 (\mod 14), & \\ 2x + 1 \equiv 3 (\mod 5); & \end{cases}#
Подробнее
Дано натуральное число #n.#. Докажите, что найдется число, записываемое только единицами и нулями, которое делится на #n.#.
Подробнее
Докажите, что число #100 \cdots 001,# в котором число нулей четное, делится на 11.
Подробнее
Существует ли такое натуральное #\underbrace{111 \cdots 11}_{n \text{цифр}}#, что число #a# делится на 217?
Подробнее
Докажите, что при любых целых #a# и #b# число #ab \cdot (a^{2} - b^{2}) \cdot (4a^{2} - b^{2})# делится на 15.
Подробнее
Докажите, что числа вида #(a^{3} - a) \cdot (5^{8a + 4} + 3^{4a+2})# делятся на 3804 при любом целом #a \geq 0.#.
Подробнее
Докажите, что числа вида #k^{2} + k +2# не могут делиться на числа вида #6n+3#.
Подробнее
Докажите, что числа вида #k^{2} + k + 1# не могут делиться:
1) на 5, на 11 и на 17; 2) на числа вида #6m-1.#
Подробнее
Докажите, что ни при каком натуральном #r,# число #1 + 2 + \cdots + n# не может заканчиваться ни одной из цифр 2, 4, 7, 9.
Подробнее
Докажите признак делимости на 9:
«Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9».
Подробнее
