1) Пусть #f: (0,1]^{2} \rightarrow (0, + \infty)# - функция, непрерывная по совокупности переменных. Верно ли, что обязательно найдется непрерывная функция #g : (0,1] \rightarrow (0, + \infty)# такая, что #g(x) = o(f(x,y)), x \rightarrow + 0#
при любом #y \in (0,1]?#
2) Пусть #f: (0,1]^{2} \rightarrow (0, + \infty)# - функция, непрерывная по #x# при любом фиксированном #y \in (0,1].# Верно ли, что обязательно найдется непрерывная функция #g: (0,1] \rightarrow (0, + \infty)# такая, что #g(x) = o(f(x,y)),# #x \rightarrow + 0# при любом #y \in (0,1]?#
Подробнее
Пусть #D \subset \mathbf{R}^{}# - область с гладкой границей #\partial D# без самопересечений, #G = \overline{D}.# Для каждой точки #x \in \partial G# найдется круг #B^{(x)}# радиуса #R# такой. что #x \in B^{(x)}, B^{(x)} \bigcap G = B^{(x)} \bigcap \partial G.#
1) Доказать, что найдется окрестность #U# множества #G# такая, что для каждой точки #x \in U# существует единственная точка #\pi(x) \in G# со свойством #\| x - \pi(x) \| = \inf_{g \in G} \| x -g \|.#
2) Доказать, что окрестность #U# в пункте 1) можно выбрать так, что для некоторого числа #L > 0# и для любых точек #x,y \in U# выполнено неравенство
#\| \pi(x) - \pi(y) \| \leq L \cdot \| x - y \|.#
Подробнее
Докажите, что ненулевая комплексная матрица #A# размера #2 \times 2# является квадратом #(A = B^{2})# тогда и только тогда, когда #A^{2} \neq 0.#
Подробнее
Дано дифференциальное уравнение с запаздыванием #x^{\prime} = # #x(t-1).# Верно ли, что для каждого решения #x(t)# этого уравнения выполнено
1) #lim_{t \rightarrow + \infty} \frac{x(t)}{e^{t}} = 0?#
о) #lim_{t \rightarrow + \infty} \frac{x^{2}(t)}{e^{t}} = 0?#
Подробнее
Существует ли такой набор #I# интервалов, лежащих в интервале #(0, 1),# что каждая рациональная точка интервала #(0, 1)# принадлежит конечному числу интервалов из #I,# а каждая иррациональная точка этого отрезка - бесконечному числу интервалов из #I?#
Подробнее
Пусть плоская гладкая кривая #\Gamma# ограничивает выпуклую область #\Omega# площадью #10 \pi# Отрезок длины 1 с концами на кривой #\Gamma# протаскивается по кривой #\Gamma# так, что его концы проходят все точки кривой #\Gamma,# а середина описывает гладкую кривую #\gamma,# которая ограничивает выпуклую область #G \subset \Omega# Найти площадь #G.#
Подробнее
Дана бесконечная числовая последовательность $\{a_n \}$. Известно, что $lim_{n \rightarrow \infty} \left ( a_{n+1} - \frac{a_n}{2} \right ) = 0$. Докажите, что $lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$.
Подробнее
Рассмотрим последовательность чисел $x_n = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3})^n$. Каждое из них приводится к виду
$x_n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$,
где $q_n, r_n, s_n, t_n$ - целые числа. Найдите пределы
$lim_{n \rightarrow \infty} \frac {r_n}{q_n}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac {s_n}{q_n}, lim_{n \rightarrow \infty} \frac {t_n}{q_n}$.
Подробнее
«Молекула воздуха» при температуре $25^{ \circ} С$ и давлении 760 мм pт. cт., двигаясь со средней скоростью 450 м/сек, успевает между двумя последовательными столкновениями пролететь около $7 \cdot 10^{-6} см$. Если в воздухе отсутствует струйное, макроскопическое движение, то сколько примерно времени понадобится молекуле, чтобы удалиться на 1 см от точки, в которой она находится в данный момент?
Подробнее
В сумке у мальчика три красных, два зеленых и один белый шарик. Он вынимает, не глядя, три первых попавшихся под руку шарика. Какова вероятность того, что:
а) все три шарика разного цвета?
б) все три шарика одного цвета?
Подробнее
Неподвижная сфера радиуса $b$ «обстреливается» потоком маленьких шариков радиуса $a$. Будем предполагать, что рассеяние абсолютно упругое и что угол падения равен углу отражения (они отсчитываются от линии, соединяющей центры сферы и шарика в момент соприкосновения). Получите выражение для относительной доли шариков, рассеиваемых на разные углы. Результат представьте в виде формулы для сечения рассеяния. Убедитесь, что результат для полного сечения рассеяния сводится к очевидному выражению $\pi (a+b)^{2}$.
Подробнее
Ящик с носками. В ящике лежат красные и черные носки. Если из ящика наудачу вытягиваются два носка, то вероятность того, что оба они красные, равна $\frac{1}{2}$.
(а) Каково минимальное возможное число носков в ящике?
(б) Каково минимально возможное число носков в ящике, если число черных носков четно?
Подробнее
Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в игре в теннис, отец обещает ему приз, если он выиграет подряд по крайней мере две теннисные партии против своего отца и клубного чемпиона по одной из схем: отец - чемпион - отец или чемпион - отец - чемпион по выбору сына. Чемпион играет лучше отца. Какую схему следует выбрать сыну?
Подробнее
В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью $p$, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов) Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью $p$. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?
Подробнее
Испытания до первого успеха. Сколько в среднем раз надо бросать кость до появления шестерки?
Подробнее