Дан многочлен #P(x)# нечетной степени #n# такой, что #lim_{x \rightarrow + \infty} P(x) = + \infty.# Известно, что многочлены #P(x)# и #P(P(x))# имеют ровно по #n# вещественных корней. Доказать, что многочлен #P(P(P(x)))# также имеет ровно #n# вещественных корней.

Подробнее

Доказать, что для любого решения #y(x)# уравнения #y^{\prime \prime} + \sin y = 0# существует #lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{y(x)}{x}.#

Подробнее

Четыре квадратичных уравнения #f_{1}(x, y) = 0,# #f_{2}(x, y) = 0, f_{3}(x, y) = 0, f_{4}(x ,y) = 0# задают четыре окружности на плоскости, при этом ни у каких трех окружностей центры не лежат на одной прямой, окружности не пересекаются и не содержатся внутри друг друга. Докажите, что функции #f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}# линейно зависимы тогда и только тогда, когда существует окружность, пересекающая 4 исходных окружности под прямыми углами.

Подробнее

Пусть #A \subset \mathbf{R}^{2}# - выпуклое компактное множество и #A_{\varepsilon} - \varepsilon# -окрестность этого множества, т.е. множество #\bigcup_{a \in A} {x \in \mathbf{R}^{2} | \| x - a \| \leq \varepsilon}.# Доказать, что площадь #S(A_{\varepsilon})# множества #A_{\varepsilon}# есть #S(A_{\varepsilon}) = a + b \varepsilon + c \varepsilon^{2}# и найти коэффициенты #a, b, c.# Считать, что граница #A# есть спрямляемая кривая.

Подробнее

Выпуклый компакт #A# в евклидовой плоскости #\mathbf{R}^{2}# имеет площадь #\pi.#
#\int_{\mathbf{R}^{2}} exp ( - \varrho (x, A)) dx = 5 \pi,#
где функция #\varrho (x, A) = min_{a \in A} \| x - a \| \forall x \in \mathbf{R}^{2}.# Найти длину границы #\delta A# компакта #A.#


Подробнее

Пусть #B, C# - вещественные #n \times n# матрицы, #A = # #= B + iC# - комплексная #n \times n# матрица #i = \sqrt{-1}.# Доказать, что #det \begin{pmatrix} B & -C \\ C & B \end{pmatrix} = |det A|^{2}.#

Подробнее

Пусть #C \subset \mathbf{R}^{n}# - ограниченное множество и функция #f : C \rightarrow \mathbf{R}# удовлетворяет условию #|f(x_{1}) - f(x_{2})| \leq# #]leq \| x_{1} - x_{2} \|# для всех точек #x_{1}, x_{2} \in C.# Доказать, что функция #g(x) = inf_{y \in C} (\| x - y \| + f(y))# удовлетворяет условию #|g(x_{1}) - g_(x_{2})| \leq \| x_{1} - x_{2} \|# для всех #x_{1}, x_{2} \in \mathbf{R}^{n} \text{и} g(x) = f(x)# для всех #x \in C.#

Подробнее

Пустъ #x_{0} = a, x_{1} = b.# а #x_{n} = \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) x_{n-1} + \frac{1}{n}x_{n-2},# #n = 2,3, \cdots# Найти #lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}.#

Подробнее

Пусть последовательность #{a_{n}}# такова, что последовательность #\left { \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}a_{k} \right }# сходится. Доказать, что для любого #\varepsilon > 0# ряд #\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{1+ \varepsilon}}# сходится.

Подробнее

Пусть #B# - центрально симметричное выпуклое компактное тело в #\mathbf{R}^{2}.# Доказать, что найдется такой параллелограмм, содержащий #B,# что середины сторон параллелограмма являются точками множества #B.#

Подробнее

Доказать, что задача Коши #\overset{\cdot}{x}(t) = x (t/2) + e^{t},# #x(0) = 1,# имеет единственное решение на оси. (Решение есть непрерывно дифференцируемая функция #x (\cdot),# удовлетворяющая задаче Коши).

Подробнее

Пусть #f(x)# - многочлен с действительными коэффициентами степени #n,# имеющий #n# различных действительных корней #x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}.# Доказать, что для любого натурального #k \leq n - 2# выполнено #\sum_{i=1}^{n} \frac{x_{i}^{k}}{f^{\prime}(x_{i})} = 0.#

Подробнее

Пусть заданы #T \in \mathbf{R}^{m \times n}# - матрица ранга #m,# #b \in \mathbf{R}^{m}# и множество #A = {x \in \mathbf{R}^{n} | Tx = b; x_{k} \geq 0, 1 \leq k \leq n}.# Доказать, что если точка #x \in A# является вершиной множества #A,# то существует такая нумерация #{i_{k}}_{k=1}^{n}# компонент точки #x,# что #x_{ik} = 0# Для всех #k \in \overline{m + 1, n},# а столбцы #{T_{ik}}_{k=1}^{m}# линейно независимы.

Подробнее

Пусть #A# и #B# - выпуклые компакты из #\mathbf{R}^{2}# с непустой внутренностью, граница которых не содержит отрезков. Пусть #C = A + B = {a + b | a \in A, b \in B}.# Доказать, что существуют непрерывные функции #a : [0, 1] \rightarrow A# и #b : [0, 1] \rightarrow B# такие, что #{a(t) + b(t) | t \in [0, 1]} = C.#

Подробнее

Пусть для натурального #n# число #x_{n}# - корень уравнения #x = tg \: x# из промежутка #(\pi n, \pi(n+1)).# Доказать, что #x_{n} = \pi n + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{ \pi n} + O(\frac{1}{n^{2}}).#

Подробнее