Доказать, что для любых чисел $a,b,c \in [0;1]$ справедливо неравенство
$\frac{a}{b+c+1} + \frac{b}{c+a+1} + \frac{c}{a+b+1} + (1-a)(1-b)(1-c) \leq 1$.
Подробнее
Доказать, что если числа $a,b,c \in \mathbf{R}$ удовлетворяют неравенствам
$a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0$,
то эти числа положительные.
Подробнее
Доказать, что для любых положительных чисел $a_{1}, \cdots , \alpha_{n} (n \geq 2)$, сумма которых равна 1, справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n} \frac{\alpha_{i}}{2 - \alpha_{i}} \geq \frac{n}{2n-1}$.
Подробнее
Доказать, что для любых положительных чисел $a_{1}, \cdots , \alpha_{n} (n \geq 2)$ справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i}}{s - a_{i}} \geq \frac{n}{n-1}$ где обозначено $s= \sum_{i=1}^{n}a_{i}$.
Подробнее
Верно ли, что для любых положительных чисел $a_{1},a_{2}, \cdots , a_{n}$ и $a_{n+1} = a_{1}$ справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{a_{i}}{a_{i+1}} \right )^{n} \geq \sum_{i=1}^{n} \frac{a_{i+1}}{a_{i}}$?
Подробнее
Доказать, что для любого значения $\alpha \leq 1$ и любых чисел $x_{1}, \cdots, x_{n}$, удовлетворяющих условиям $1 \geq x_{1} \geq x_{2} \geq \cdots \geq > 0$, справедливо неравенство
$(1 + x_{1} +x_{2} + \cdots + x_{n})^{\alpha} \leq 1 + 1^{\alpha - 1} x_{1}^{\alpha} + 2^{\alpha - 1} x_{2}^{\alpha} + \cdots + n^{\alpha - 1} x_{n}^{\alpha}$
Подробнее
Доказать, что для любых чисел $a_{1}, \cdots a_{n} \in [0;2] (n \geq 2)$ справедливо неравенство
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} |a_{i} – a_{j}| \leq n^{2}$.
Определить, при каких значениях $a_{1}, \cdots ,a_{n}$ достигается равенство.
Подробнее
Доказать, что если число $M$ и набор чисел
$a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1n}$
$a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2n}$
$\cdots$
$a_{n1}, a_{n2}, \cdots, a_{nn}$
удовлетворяют неравенствам
$\sum_{j=1}^{n} |a_{j1}x_{1} + a_{j2}x_{2} + \cdots + a_{jn}x_{n}| \leq M$
при любых значениях $x_{1}, \cdots , x_{n} {-1; 1}$, то справедлива оценка
$|a_{11}| + |a_{22}| + \cdots + |a_{nn}| \leq M$
Подробнее
Доказать, что для любого набора чисел $a_{1}, \cdots, a_{n} \in \mathbf{R}$ можно подобрать такое значение $k \in {1; \cdots ; n}$, чтобы любые неотрицательные числа $b_{1} \geq b_{2} \geq \cdots \geq b_{n}$, не превосходящие 1, удовлетворяли неравенству
$\left | \sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}a_{i} \right | \leq \left | \sum_{i=1}^{n} a_{i} \right |$.
Подробнее
Доказать, что для любых значений $m,n \in \mathbf{N}$ и любых чисел $x_{1}, \cdots , x_{n}, y_{1}, \cdots , y_{n} \in [0; 1]$, удовлетворяющих условиям $x_{i} + y_{i} = 1$ при $i = 1, \cdots ,n$, справедливо неравенство
$(1 – x_{1} \cdots x_{n})^{m} + (1 – y^{m}_{1}) \cdots (1 – y^{m}_{n}) \geq 1$.
Подробнее
Доказать, что для любых положительных чисел $a \leq b \leq c \leq d$ справедливо неравенство
$a^{b} b^{c} c^{d} d^{a} \geq b^{a} c^{b} d^{c} a^{d}$.
Подробнее
Доказать, что для любых чисел $n,k \in \mathbf{N}$, больших 1, справедливо неравенство
$\sum_{j=2}^{n^{k}} \frac{1}{j} > k \sum_{j=2}^{n} \frac{1}{j}$
Подробнее
Доказать, что если фиксированы два положительных числа $p < q$, то для любых чисел $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon \in [p; q]$ справедливо неравенство
$(\alpha + \beta + \gamma + \delta + \varepsilon) \left ( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\delta} + \frac{1}{\varepsilon} \right ) \leq$
$\leq 25 + 6 \left ( \sqrt{\frac{p}{q}} - \sqrt{\frac{q}{p}} \right )^{2}$.
Определить, при каких значениях $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon$ достигается равенство.
Подробнее
Доказать, что для любых положительных чисел $a, b, c, d$ справедливо неравенство
$\sqrt[3]{ \frac{abc + abd + acd + bcd}{4}} \leq \sqrt{ \frac{ab + ac + ad + bc + bd + ad}{6}}$
Определить, при каких значениях $a, b, c, d$ достигается равенство.
Подробнее
Решить уравнение
$1 - |x+1| = \frac{[x]-x}{|x-1|}$.
Подробнее
