Найти все значения $x \in [0, \pi/2]$, удовлетворяющие уравнению $\cos^{8} x + \sin^{80 x}= 97/128$.
Подробнее
Найти все пары натуральных чисел $A \neq B$, для которых система
$
\begin{cases}
\cos Ax + \cos Bx=0,&\text{}\\
A \sin Ax+ B \sin Bx=0,&\text{}
\end{cases}
$
имеет решение.
Подробнее
Найти все пары чисел $x, y \in (0, \pi /2)$, удовлетворяющие системе
$\begin{cases}
\frac{\cos x}{\cos y}=2 \cos^{2}y,&\text{}\\
\frac{\sin x}{\sin y}=2 \sin^{2} y,&\text{}
\end{cases}
$
Подробнее
Решить уравнение
$(\sin(x-y)+1)(2 \cos (2x-y)+1)=6$.
Подробнее
При каждом значении $n \in \mathbf{N}$ решить уравнение
$\sin x \sin 2x \cdots \sin nx + \cos x \cos 2x \cdots \cos nx = 1$.
Подробнее
При каждом значении $n \in \mathbf{N}$ решить уравнение $(x+y)^{n} = x^{n}+y^{n}$.
Подробнее
Решить систему
$\begin{cases}
x + xy + y = 2 + 3 \sqrt{2},&\text{}\\
x^{2} + y^{2}=6.&\text{}
\end{cases}
$
Подробнее
Для каждой пары значений $n,k \in \mathbf{N}$ найти все наборы неотрицательных чисел $x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}$, удовлетворяющие системе
$\begin{cases}
x_{1}^{k} + x_{2}^{k} + \cdots + x_{n}^{k} = 1,&\text{}\\
(1 + x_{1})(1 + x_{2}) \cdots (1 + x_{n}) = 1.&\text{}
\end{cases}
$
Подробнее
Решить систему
$\begin{cases}
2x + x^{2}y = y,&\text{}\\
2y + y^{2}z = z,&\text{}\\
2z + z^{2}x = x.&\text{}
\end{cases}
$
Подробнее
Для любых значений $n \in \mathbf{N}$ и $a \in \mathbf{R}$ решить систему
$\begin{cases}
x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n} = a,&\text{}\\
x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} = a^{2},&\text{}\\
\cdots .&\text{}\\
x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + \cdots + x_{n}^{n} = a^{n}.&\text{}
\end{cases}
$
Подробнее
Расставить числа
$x = (a+b)(c+d)$,
$x = (a+c)(b+d)$,
$x = (a+d)(b+c)$
в порядке возрастания, если известно, что $a < b < c < d$.
Подробнее
Доказать, что если произведение трех чисел равно 1, а их сумма больше суммы их обратных величин, то ровно одно из этих чисел больше 1.
Подробнее
Доказать, что для среднего арифметического $A = (a+b)/2$ и среднего геометрического
$B = \sqrt{ab}$ любых положительных чисел $a \neq b$ справедливы оценки
$B < \frac{(a-b)^{2}}{8(A - B)} < A$
Подробнее
Доказать, что для любых чисел $a, b, c$, больших 1, справедливо неравенство
$2 \left ( \frac{log_{b}a}{a+b} + \frac{log_{c}b}{b+c} + \frac{log_{a}c}{c+a} \right ) \geq \frac{9}{a+b+c}$
Подробнее
Доказать, что для любых положительных чисел $a , b, c$ справедливо неравенство
$a^{2}(b + c - a) + b^{2}(a + c - b) + c^{2}(a + b – c) \leq 3abc$
Подробнее
