Обозначим через $S(x)$ сумму цифр натурального числа $x$. Решить уравнения:
а) $x + S(x) + S(S(x)) = 1993$;
б) $x+S(x) + S{S(x)} + S(S(S(x))) = 1993$.
Подробнее
Известно, что число $n$ является суммой квадратов трех натуральных чисел. Показать, что число $n^2$ тоже является суммой квадратов трех натуральных чисел.
Подробнее
На прямой стоят две фишки, слева - красная, справа - синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд в любом месте прямой и удаление любых двух соседних одноцветных фишек. Можно ли за конечное число операций оставить на прямой ровно две фишки: красную справа, а синюю - слева?
Подробнее
Придворный астролог царя Гороха называет время суток хорошим, если на часах с центральной секундной стрелкой при мгновенном обходе циферблата по ходу часов минутная стрелка встречается после часовой и перед секундной. Какого времени в сутках больше: хорошего или плохого?
Комментарий. Стрелки часов движутся с постоянной скоростью.
Подробнее
Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.
Комментарий. Словом мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную, подсловом называется любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его подслова.
Подробнее
Окружность с центром $D$ проходит через точки $A, B$ и центр $O$ вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся его стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Доказать, что точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности.
Подробнее
Для двух данных различных точек плоскости $A$ и $B$ найдите геометрическое место таких точек $C$, что треугольник $ABC$ остроугольный, а его угол $A$ - средний по величине.
Комментарий. Под средним по величине углом мы понимаем угол, который не больше одного из углов, и не меньше другого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.
Подробнее
Найдите $x_{1000}$, если $x_1 = 4, x_2 = 6$, и при любом натуральном $n \geq 3 x_n$ - наименьшее составное число, большее $2x_{n-1} - x_{n-2}$.
Подробнее
Бумажный треугольник с углами $20^{ \circ}, 20^{ \circ}, 140^{ \circ}$ разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получится треугольник, подобный исходному?
Подробнее
У Пети всего 28 одноклассников. У каждых двух из 28 различное число друзей в этом классе. Сколько друзей у Пети?
Подробнее
Каждой паре чисел $x$ и $y$ поставлено в соответствие некоторое число $x \ast y$. Найдите $1993 \ast 1935$, если известно, что для любых чисел $x$, $y$ и $z$ выполнены тождества: $x \ast x = 0 x \ast (y \ast z) = (x \ast y) + z$.
Подробнее
Дан выпуклый четырехугольник $ABMC$, в котором $AB = BC, \angle BAM = 30^{ \circ}, \angle ACM = 150^{ \circ}$. Докажите, что $AM$ - биссектриса угла $BMC$.
Подробнее
При разложении чисел $A$ и $B$ в бесконечные десятичные дроби длины минимальных периодов этих дробей равны 6 и 12 соответственно. Чему может быть равна длина минимального периода числа $A + B$?
Подробнее
Дед барона К.Ф.И. фон Мюнхагаузена построил квадратный замок, разделил его на 9 квадратных залов и в центральном разместил арсенал. Отец барона разделил каждый из 8 осавшихся залов на 9 равных квадратных холлов и во всех центральных холлах устроил зимние сады. Сам барон разделил каждый из 64 свободных холлов на 9 равных квадратных комнат и в каждой из центральных комнат устроил бассейн, а остальные сделал жилыми. Барон хвастается, что ему удалось обойт все жилые комнаты, побывав в каждой по одному разу, и вернуться в исходную (в каждой стене между двумя соседними жилыми комнатами проделана дверь). Могут ли слова барона быть правдой?
Подробнее
От любой точки на любом из двух берегов реки можно доплыть до другого берега, проплыв не более одного километра. Всегда ли лоцман может провести корабль вдоль реки так, чтобы находиться все время на расстоянии не более чем а) 700 метров, б) 800 метров от каждого из берегов?
Примечание. Известно, что река соединяет два круглых озера радиусом 10 километров каждое, а береговые линии состоят из отрезков и дуг окружностей. Корабль следует считать точкой.
Комментарии.
1. Считайте, что островов на реке нет.
2. Расстояние от точки на реке до берега можно понимать двояко: как минимальное расстояние до берега по прямой (при этом прямая может пересекать другой берег), или как длину кратчайшего пути по воде. Эти расстояния могут быть различными, если мыс одного берега загораживает другой берег (рис.). В задаче используется расстояние во втором смысле.
Подробнее