Для каждой пары действительных чисел $a$ и $b$ рассмотрим последовательность чисел $p_{n} = [2 \{an + b \}]$. Любые $k$ подряд идущих членов этой последовательности назовем словом. Верно ли, что любой упорядоченный набор из нулей и единиц длины $k$ будет словом последовательности, заданной некоторыми $a$ и $b$ при $k = 4$; при $k = 5$?
Примечание: $[c]$ - целая часть, $\{c\}$ - дробная часть числа $c$.
Подробнее
В ботаническом определителе растения описываются ста признаками. Каждый из признаков может либо присутствовать, либо отсутствовать. Определитель считается хорошим, если любые два растения различаются более чем по половине признаков. Доказать, что в хорошем определителе не может быть описано более 50 растений.
Подробнее
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ внешним образом построен квадрат с центром $O$. Точки $M$ и $N$ - середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно, а длины этих сторон равны соответственно $a$ и $b$. Найти максимум суммы $OM + ON$, когда угол $ACB$ меняется.
Подробнее
Известно, что $tg \alpha + tg \beta = p, ctg \alpha + ctg \beta = q$. Найти $tg(\alpha + \beta)$.
Подробнее
Единичный квадрат разбит на конечное число квадратиков (размеры которых могут различаться). Может ли сумма периметров квадратиков, пересекающихся с главной диагональю, быть больше 1993?
Комментарий. Если квадратик пересекается с диагональю по одной точке, это тоже считается пересечением.
Подробнее
Даны $n$ точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое минимальное число попарно непараллельных прямых может быть среди них?
Подробнее
В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число $k$, затем камни в ящиках делятся на группы по $k$ штук и остаток менее, чем из $k$ штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за 5 ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них а) не более 460 камней; б) не более 461 камня?
Подробнее
а) Известно, что область определения функции $f(x)$ - отрезок $[-1; 1]$, и $f(f(x))= - x$ при всех $x$, а ее график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график функции $f(x)$.
б) Можно ли это сделать, если область определения функции - интервал $(-1; 1)$? Вся числовая ось?
Комментарии. 1. В пункте «а» достаточно нарисовать график какой-нибудь такой функции.
2. Напомним, что интервал не содержит своих концов. Впрочем, это не существенно, так как отрезок есть объединение интервала и двух точек.
Подробнее
Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром $a$. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку?
Подробнее
Ученик не заметил знак умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в семь раз больше их произведения. Найдите эти числа.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ провели биссектрисы углов $A$ и $C$. Точки $P$ и $Q$ - основания перпендикуляров, опущенных из вершины $B$ на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок $PQ$ параллелен стороне $AC$.
Подробнее
Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.
Подробнее
Придворный астролог называет момент времени хорошим, если часовая, минутная и секундная стрелки часов находятся по одну сторону от какого-нибудь диаметра циферблата (стрелки вращаются на общей оси и не делают скачков). Какого времени в сутках больше, хорошего или плохого?
Подробнее
Двое играют на доске $19 \times 94$ клеток. Каждый по очереди отмечает квадрат по линиям сетки (любого возможного размера) и закрашивает его. Выигрывает тот, кто закрасит последнюю клетку. Дважды закрашивать клетки нельзя. Кто выиграет при правильной игре и как надо играть?
Подробнее
Существует ли невыпуклый пятиугольник, никакие две из пяти диагоналей которого не имеют общих точек (кроме вершин)?
Подробнее