Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечетного числа, во вторую - числа, для которых ближайшими являются квадраты четных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
Подробнее
На прямой выбрано 100 множеств $A_1,A_2,\cdots ,A_{100}$, каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств $A_1,A_2,\cdots,A_{100}$ является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).
Подробнее
Приведенные квадратные трехчлены $f(x)$ и $g(x)$ принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах. Докажите, что найдутся такие положительные числа $\alpha$ и $\beta$, что для любого действительного $x$ будет выполняться неравенство $\alpha f(x) + \beta g(x) > 0$.
Подробнее
На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т. е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.
Подробнее
Числовое множество $M$, содержащее 2003 различных числа, таково, что для любых двух различных элементов $a, b$ из $M$ число $a^2 + b \sqrt {2}$ рационально. Докажите, что для любого $a$ из $M$ число $a \sqrt {2}$ рационально.
Подробнее
Последовательность $\{ a_n \}$ строится следующим образом: $a_1 = p$ - простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, $a_{n+1}$ - период десятичной дроби $1/a_n$, умноженный на 2. Найдите число $a_{2003}$.
Подробнее
Числовое множество $M$, содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов $a, b, с$ из $M$ число $a^2 + bc$ рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное $n$, что для любого $а$ из $M$ число $a \sqrt {n}$ рационально.
Подробнее
На плоскости дано конечное множество точек $X$ и правильный треугольник $T$. Известно, что любое подмножество ${X}^{ \prime} $ множества $X$, состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника $T$. Докажите, что все множество $X$ можно покрыть двумя параллельными переносами $T$.
Подробнее
Последовательность натуральных чисел $a_n$ строится следующим образом: $a_0$ - некоторое натуральное число; $a_{n+1} = \frac {a_n}{5}$ если $a_n$ делится на 5; $a_{n+1} = | \sqrt{5}a_n |$, если $a_n$ не делится на 5 (через $[x]$ обозначена целая часть от $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность $a_n$ возрастает.
Подробнее
Последовательность неотрицательных рациональных чисел $a_1,a_2,a_3,\cdots$ удовлетворяет соотношению $a_m + a_n = a_{mn}$ при любых натуральных $m, n$. Докажите, что не все ее члены различны.
Подробнее
Пусть $M = \{x_1,\cdots, x_{30} \}$ - множество, состоящее из 30 различных положительных чисел; $A_n (1 \leq n \leq 30)$ - сумма всевозможных произведений различных $n$ элементов множества $M$. Докажите, что если $A_{15} > A_{10},$ то $A_1 > 1$.
Подробнее
Докажите, что не существует конечного множества, содержащего более $2N (N > 3)$ попарно неколлинеарных векторов на плоскости, обладающего следующими двумя свойствами: 1) для любых $N$ векторов этого множества найдется еще такой $N - 1$ вектор из этого множества, что сумма всех $2N - 1$ векторов равна нулю; 2) для любых $N$ векторов этого множества найдутся еще такие $N$ векторов из этого множества, что сумма всех $2N$ векторов равна нулю.
Подробнее
Сколькими способами числа $2^0, 2^1, 2^2,\cdots, 2^{2005}$ можно разбить на два непустых множества $A$ и $B$ так, чтобы уравнение $x^2 - S(A)x + S(B) = 0$, где $S(M)$ - сумма чисел множества $M$, имело целый корень?
Подробнее
Существует ли ограниченная функция $f: \mathbb {R} \mapsto \mathbb {R}$ такая, что $f(1) > 0$ и $f(x)$ удовлетворяет при всех $x,y \in \mathbb {R}$ неравенству $f^2(x + y) > f^2(x) + 2f (xy) + f^2(y)$?
Подробнее
Последовательности положительных чисел $(x_n)$ и $(y_n)$ удовлетворяют условиям $x_{n+2} = x_n + x_{n+1}^{2}, y_{n+2} = y_{n}^{2} + y_{n+1}$ при всех натуральных $n$. Докажите, что если все числа $x_1, x_2, y_1, y_2$ больше 1, то $x_n > y_n$ при каком-нибудь натуральном $n$.
Подробнее