B круг радиуса $R$ вписывается данный угол $\alpha$. Какими должны быть длины хорд, образующих этот угол, чтобы их сумма была наибольшей.
Подробнее
B основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с площадью, равной $2 м^{2}$, а высота призмы равна гипотенузе основания. Какими должны быть стороны основания, чтобы боковая поверхность призмы была наименьшей?
Подробнее
Найти сторону наибольшего из квадратов, внутренние точки которых находятся внутри правильного шестиугольника со стороной $a$.
Подробнее
Внутри параболы $y = x^2$ расположены окружности $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \cdots$ так, что при каждом $n > 1$ окружность $\omega_n$ касается ветвей параболы и окружности $\omega_{n-1}$ (рис.). Найдите радиус окружности $\omega_{1998}$, если известно, что радиус $\omega_1$ равен 1 и она касается параболы в её вершине.
Подробнее
Докажите, что точки пересечения прямых $x + 2y = 19$ и $y + 2x = 98$ с гиперболой $y = \frac{1}{x}$ лежат на одной окружности.
Подробнее
Даны две параболы $y = a(x-b)^2$ и $y = c(x-d)^2$ (парабола - это геометрическое место точек, равноудаленных от точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой). Докажите, что если фокус первой параболы лежит на второй параболе, то фокус второй лежит на первой.
Подробнее
На доске написаны три функции: $f_1(x) = x+ \frac{1}{x}, f_2(x) = x^2, f_3 (x) = (x-1)^2$. Разрешается складывать, вычитать и перемножать эти функции, умножать на произвольное число и прибавлять произвольное число, а также проделывать эти операции с полученными выражениями. Получите таким образом функцию $\frac{1}{x}$. Докажите, что если стереть с доски любую из функций $f_1, f_2, f_3$, то получить $\frac{1}{x}$ невозможно.
Подробнее
а) Известно, что область определения функции $f(x)$ - отрезок $[-1; 1]$, и $f(f(x))= - x$ при всех $x$, а ее график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график функции $f(x)$.
б) Можно ли это сделать, если область определения функции - интервал $(-1; 1)$? Вся числовая ось?
Комментарии. 1. В пункте «а» достаточно нарисовать график какой-нибудь такой функции.
2. Напомним, что интервал не содержит своих концов. Впрочем, это не существенно, так как отрезок есть объединение интервала и двух точек.
Подробнее
В круглый бокал, осевое сечение которого - график функции $y = x^4$, опускают вишенку - шар радиуса $r$. При каком наибольшем $r$ шар коснется нижней точки дна? (Другими словами, каков максимальный радиус $r$ круга, лежащего в области $y \geq x^4$ и содержащего начало координат?)
Подробнее
Разрезать отрезок $\left [-1; 1 \right ]$ на черные и белые отрезки так, чтобы интегралы любой а) линейной функции; б) квадратного трехчлена по белым и черным отрезкам были равны.
Подробнее
Про непрерывную функцию $f$ известно, что:
1) $f$ определена на всей числовой прямой;
2) $f$ в каждой точке имеет производную (и, таким образом, график $f$ в каждой точке имеет единственную касательную);
3) график функции $f$ не содержит точек, у которых одна из координат рациональна, а другая - иррациональна.
Следует ли отсюда, что график $f$ - прямая?
Подробнее
Кузнечик прыгает по отрезку $[0; 1]$. За один прыжок он может попасть из точки $x$ либо в точку $\frac{ x}{ \sqrt{3}}$, либо в точку $\frac{x}{ \sqrt{3}} + \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{3}} \right )$. На отрезке $[0; 1]$ выбрана точка $a$. Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько прыжков оказаться на расстоянии меньше $\frac{1}{100}$ от точки $a$.
Подробнее
Точки $A$ и $B$ взяты на графике функции $y = 1/x, x > 0$. Из них опущены перпендикуляры на ось абсцисс, основания перпендикуляров - $H_A$ и $H_B$; $O$ - начало координат. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямыми $OA, OB$ и дугой $AB$, равна площади фигуры, ограниченной прямыми $AH_A, BH_B$, осью абсцисс и дугой $AB$.
Подробнее
Докажите, что в пространстве существует расположение 2001 выпуклого многогранника, такое что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а любые два касаются друг друга (т. е. имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).
Подробнее
Докажите, что на графике функции $y = x^3$ можно отметить такую точку $A$, а на графике функции $y = x^3 + < |x| + 1$ - такую точку $B$, что расстояние $AB$ не превысит $\frac{1}{100}$.
Подробнее