На сфере радиуса 1 проведена окружность большого круга, которую мы будем называть экватором. Нам будет удобно использовать и другие географические термины: полюс, меридиан, параллель.
а) Зададим на этой сфере функцию $f$, ставящую в соответствие каждой точке сферы квадрат расстояния от этой точки до плоскости экватора.
Проверьте, что эта функция обладает следующим свойством:
(*) если $M_1 M_2, M_3$ - концы трех взаимно перпендикулярных радиусов сферы, то $f(M_1) + f(M_2) + f(M_3) = 1$.
Во всех следующих пунктах $f$ - произвольная неотрицательная функция на сфере, которая обращается в 0 во всех точках экватора и обладает свойством (*).
б) Пусть $M$ и $N$ - точки одного меридиана, расположенные между северным полюсом и экватором. Докажите, что если точка $M$ дальше от плоскости экватора, чем точка $N$, то $f(M) > f(N)$.
в) Пусть $M$ и $N$ - произвольные точки сферы. Докажите, что если точка $M$ дальше от плоскости экватора, чем $N$, то $f(M) > f(N)$.
г) Докажите, что если точки $M$ и $N$ лежат на одной параллели, то $f(M) = f(N)$.
д) Докажите, что функция $f$ совпадает с функцией, описанной в пункте а).
Подробнее