Играя с компьютером, Антон выиграл 60% партий. Отдохнув, он выиграл еще 10 партий подряд, и процент выигранных партий достиг 70%. Какое наименьшее количество партий он должен еще сыграть и сколько из них выиграть, чтобы в итоге количество выигранных партий опять составило 60%?
Подробнее
Найдите все положительные решения системы уравнений
$\begin{cases} a + b = c^{2}, \\ b + c = d^{2}, \\ c + d = a^{2} , \\ d + a = b^{2} \end{cases}$
Подробнее
Варианты второго тура математической регаты готовились так: на каждый лист печаталось несколько одинаковых условий и затем каждый лист разрезался. Получилось так, что количество подготовленных условий совпало с количеством команд.
Сколько команд могло участвовать в регате, если сделано $p^{2}$ разрезов, где $p$ - простое число?
Подробнее
Найдите все натуральные значения $n$, для которых число $n^{5} + n + 1$ является простым.
Подробнее
Найдите наибольшее возможное значение выражения:
$20x - 4y + 6z - 2x^{2} - 4y^{2} - 3z^{2} - 2$.
При каких значениях переменных оно достигается?
Подробнее
Существует ли такое натуральное число, которое при умножении на 2 станет квадратом натурального числа, при умножении на 3 - кубом какого-то натурального числа, после умножения на 5 - пятой степенью какого-нибудь натурального числа, а после умножения на 7 - седьмой степенью какого-либо натурального числа?
Подробнее
Какие значения может принимать выражение $(a |b| - b|a|)(b|c| - c|b|) (c|a| - a|c|)$, где $a, b$ и $c$ - действительные числа?
Подробнее
Известно, что числа $2n + 1$ и $3n + 1$, где $n$ - натуральное число, являются точными квадратами. Может ли число $5n + 3$ быть простым?
Подробнее
Заведующая библиотекой, увидев, что 8 томов «Малой энциклопедии козлов» стоят в беспорядке, указала на это библиотекарю. Тот в ответ заявил: «Беспорядок - небольшой, так как каждый том стоит либо на своем месте, либо на соседнем».
Сколькими способами можно расставить тома энциклопедии в соответствии с этим условием?
Подробнее
Числа $a, b, c$ и $d$ таковы, что $a + b = c + d$ и $a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}$. Верно ли, что $a^{3} + b^{3} = c^{3} + d^{3}$?
Подробнее
Решите уравнение:
$2x^{2} + 5y^{2} - 4xy - 2y - 4x + 5 = 0$.
Подробнее
У Золотой рыбки записаны и перенумерованы подряд все знакомые. Половина из них - щуки, треть - окуни, а все знакомые с номерами, делящимися на 4, - караси. Сколько всего знакомых у Золотой рыбки?
Подробнее
Верно ли, что все корни уравнения
$\frac{x - ab}{a + b} + \frac{x - bc}{b + c} + \frac{x - ca}{c + a} = a + b + c$,
где $a, b$ и $c$ - данные натуральные числа, являются целыми числами?
Подробнее
Дано уравнение с переменной $x: (a^{2} - 1)(b - 1)x = (a - 1)(b^{2} - 1)$. При каких значениях $a$ найдется значение $b$ такое, что данное уравнение не имеет корней?
Подробнее
В вершинах куба расставлены числа от 1 до 8. На каждой грани записана сумма чисел, расставленных в ее вершинах. Может ли оказаться так, что на гранях записано шесть последовательных натуральных чисел?
Подробнее
