Женя и Антон учатся в одном классе. У Антона одноклассников вчетверо больше, чем одноклассниц. А у Жени одноклассниц на 17 меньше, чем одноклассников. Кто Женя: девочка или мальчик?
Подробнее
Каждый из двух мальчиков, Ваня и Витя, задумал по натуральному числу, возвел его в куб и вычел задуманное им число. Полученные ими разности оказались одинаковыми. Могло ли так случиться, что Ваня и Витя задумали различные числа?
Подробнее
Учительница написала на доске три числа, отличные от нуля, и велела Диме одно из них уменьшить на треть, другое увеличить на четверть, а третье уменьшить на одну пятую и результаты записать в тетради. Оказалось, что в тетради Дима записал те же числа, что и на доске, но в другом порядке. Докажите, что Дима ошибся.
Подробнее
Если каждый мальчик купит пирожок, а каждая девочка - булочку, то они вместе потратят на 1 рубль меньше, чем если бы каждый мальчик купил булочку, а каждая девочка - пирожок. Цена пирожка и цена булочки различаются больше, чем на 50 копеек. Известно также, что мальчиков больше, чем девочек. На сколько? Что дороже, пирожок или булочка, и на сколько?
Подробнее
При каких значениях $a$ уравнения $x^{3} + ax + 1 = 0$ и $x^{4} + ax^{2} + 1 = 0$ имеют хотя бы один общий корень?
Подробнее
Найдите все целые $a$ и $b$ такие, что $a^{4} + 4b^{4}$ является простым числом.
Подробнее
Решите неравенство: $|x + 2000| < |x - 2001|$.
Подробнее
Решите систему уравнений:
$\begin{cases} 1 - x_{1}x_{2} = 0, \\ 1 - x_{2}x_{3} = 0, \\ \cdots \\ 1 - x_{2000}x_{2001} = 0, \\ 1 - x_{2001}x_{1} = 0. \end{cases}$
Подробнее
Укажите все пары $(x; y)$, для которых выполняется равенство: $(x^{4} + 1)(y^{4} + 1) = 4x^{2}y^{2}$.
Подробнее
Трое рабочих копают яму. Они работают по очереди, причем каждый из них работает столько времени, сколько нужно двум другим, чтобы вырыть половину ямы. Работая таким образом, они выкопали яму. Во сколько раз быстрее трое рабочих выкопают такую же яму, если будут работать одновременно?
Подробнее
Найдите все значения $a$, для которых выражения $a + \sqrt{15}$ и $\frac{1}{a} - \sqrt{15}$ принимают целые значения.
Подробнее
Известно, что $a(1 - b) > \frac{1}{4}$, где $a$ и $b$ - положительные числа. Какое из чисел больше: $a$ или $b$?
Подробнее
Решите систему:
$\begin{cases} x + y + z = 0, \\ xy + yz + zx \geq 0. \end{cases}$
Подробнее
Найдите все целые значения $m$ такие, что выражение $\frac{2m + 7}{5m + 11}$ принимает целые значения.
Подробнее
Существуют ли такие числа $a, b, c, k, m, n, x, y$ и $z$, что $amz > 0; bnx > 0; cky > 0; any < 0; bkz < 0; cmx < 0$?
Подробнее
