Пусть #f(x)# - непрерывная периодическая функция с периодом #T, \int_{0}^{T} f(x) dx = 0.# Доказать, что найдется такое число #a,# что при любом #b# выполняется неравенство
#\int_{a}^{b} f(x) dx \geq 0.#
Подробнее
Пусть #P# - периметр треугольника с целочисленными координатами вершин на плоскости #Oxy# #R# - радиус описанной около треугольника окружности. Доказать неравенство #P^{3} \geq 54R.#
Подробнее
Найти многочлен #P(x)# наименьшей степени, который имеет нуль десятого порядка при #x = 0# и такой, что #P(x) - 1# имеет нуль пятого порядка при #x = 1.#
Подробнее
На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения каждых двух окружностей проведена прямая. Доказать, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.
Подробнее
Поверхность #z = f(x, y),# где #f(x,y)# - многочлен степени не ниже второй, обладает свойством: через любую ее точку можно провести две прямые, целиком лежащие на поверхности. Доказать, что поверхность - гиперболический параболоид.
Подробнее
Пусть
#A = \begin{pmatrix} B & C \\ C^{T} & D \end{pmatrix},#
где #B, C, D# - действительные матрицы одного порядка, #B# - невырожденная, #B# и #D# - симметрические. Обозначим через #n_{1}, n_{2}, n_{3}# число положительных собственных значений матриц
#A, B, D - C^{T}B^{-1}C# соответственно. Доказать, что #n_{1} = n_{2} + n_{3}#.
Подробнее
Пусть положительные числа #x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}# удовлетворяют соотношениям #x_{1} + x_{2} = y_{1} + y_{2} = 1, x_{1}^{2} + x_{2}^{2} <# #< y_{1}^{2} + y_{2}^{2}.# Доказать, что
#x_{1} ln x_{1} + x_{2} ln x_{2} < y_{1} ln y_{1} + y_{2} ln y_{2}.#
Подробнее
Пусть #d_{n}# - количество перестановок
#\sigma : {1,2, \cdots, n} \rightarrow {1,2, \cdots, n}# таких, что выполнено
неравенство #(\sigma(i) - \sigma(i - 1))(\sigma(i) - \sigma(i+1)) > 0# при
любом #i = 2, 3, \cdots, n-1.# Доказать, что #2d_{2004} < d_{2005}.#
Подробнее
а) Дана дифференцируемая функция #f : [0, 1] \rightarrow# #\mathbf{R}# Известно, что #x \sin f(x) + x^{2} = f(x) \sin x + 2f(x)^{2}# при любом #x \in [0, 1].# Найдите #|f_{+}^{\prime}(0)|# (здесь #f_{+}^{\prime}(0)# - производная справа
в точке 0).
б) Дана непрерывная функция #f : [0, 1] \rightarrow \mathbf{R}.# Известно, что #x \sin f(x) + x^{2} = f(x) \sin x + 2 f(x)^{2}# при любом #x \in [0, 1].#
Докажите, что существует #f_{+}^{\prime}(0)#
Подробнее
На плоскости задана замкнутая кусочно-гладкая кривая #\Gamma,# ограничивающая выпуклую центрально-симметричную область. Доказать, что в кривую #\Gamma# можно вписать аффинно правильный шестиугольник (т.е. образ правильного шестиугольника при некотором аффинном преобразовании).
Подробнее
Даны целочисленные матрицы #A# и #B# порядка 10. Известно, что матрицы #A, A + B, A + 2B, \cdots, A + 25B# имеют целочисленные обратные. Доказать, что матрица #A+2005B# также имеет целочисленную обратную.
Подробнее
Пусть функция #f : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}# непрерывна в точке #x = x_{0}# т.е.
#\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in U_{\delta}(x_{0}) = (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta) \: |f(x) - f(x_{0})| < \varepsilon.# (*)
Доказать, что в условии (*) для каждого #\varepsilon > 0# можно так подобрать #\delta = \delta (\varepsilon),# что функция #\delta (\varepsilon)# будет непрерывной при
#\varepsilon >0.#
Подробнее
Пусть #f \in C^{2}([0,1]).# Доказать, что функцию #f# можно представить в виде разности двух выпуклых вниз функций.
#x_{n} = \overbrace{\sqrt[3]{6 + \sqrt[3](6 + \cdots + \sqrt[3]{6})}}_{n \text{раз}}.#
Подробнее
Пусть #x_{n} = \overbrace{\sqrt[3]{6 + \sqrt[3](6 + \cdots + \sqrt[3]{6})}}_{n \text{раз}}.# Найти предел
#lim_{n \rightarrow \infty} 6^{n} (2 - x_{n}).#
Подробнее
Пусть #\alpha \in (0, 1),# ряд #\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x_{k}}{k^{\alpha}}# сходится и #x_{k} \geq x_{k+1} \geq 0# для всех #k.# Доказать, что ряд #\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{\frac{1}{1 - \alpha}}# также сходится.
Подробнее
