Алфавит состоит из $n$ букв. Какова максимальная длина слова, если:
а) в нем две рядом стоящие буквы всегда различны;
б) из него нельзя получить вычеркиванием букв слова вида $abab$, где $a \neq b$?
Подробнее
$n$ школьников с номерами от 1 до $n$ расположены в порядке $1, 2, \cdots, n$. По команде каждый может либо один раз с кем-нибудь поменяться местами, либо остаться на месте. Можно ли в результате двух команд получить расположение $n, 1, 2, \cdots, n-1$?
Подробнее
Выбрали сто последовательных натуральных чисел, каждое возвели в восьмую степень. На какие две цифры оканчивается сумма этих степеней?
Подробнее
Можно ли на деревянный куб нанести 100 (или 200) точек так, чтобы точки при всех вращениях куба переходили в себя. Докажите свой ответ.
Подробнее
Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, делящееся на 11.
Подробнее
В колоде n карт. Часть из них лежит рубашками вверх, остальные — рубашками вниз. За один ход разрешается взять несколько карт сверху, перевернуть полученную стопку и снова положить ее сверху колоды. За какое наименьшее число ходов при любом начальном расположении карт можно добиться того, чтобы все карты лежали рубашками вниз?
Подробнее
На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый — знак «+» или «—», второй — одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать?
Подробнее
У каждого из жителей города $N$ знакомые составляют не менее 30% населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города $N$ из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.
Подробнее
Из квадратной доски $1000 \times 1000$ клеток удалены четыре прямоугольника $2 \times 994$ (см. рис.). На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр — фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Подробнее
Найдите все натуральные числа $n$, для которых сумма цифр числа $5^{n}$ равна $2^{n}$.
Подробнее
В стране 1993 города, и из каждого выходит не менее 93 дорог. Известно, что из любого города можно проехать по дорогам в любой другой. Докажите, что это можно сделать не более, чем с 62 пересадками. (Дорога соединяет между собой два города.)
Подробнее
Как-то Кролик торопился на встречу с осликом Иа-Иа, но к нему неожиданно пришли Винни-Пух и Пятачок. Будучи хорошо воспитанным, Кролик предложил гостям подкрепиться. Пух завязал салфеткой рот Пятачку и в одиночку съел 10 горшков меда и 22 банки сгущенного молока, причем горшок меда он съедал за 2 минуты, а банку молока — за минуту. Узнав, что больше ничего сладкого в доме нет, Пух попрощался и увел Пятачка. Кролик с огорчением подумал, что он бы не опоздал на встречу с осликом, если бы Пух поделился с Пятачком. Зная, что Пятачок съедает горшок меда за 5 минут, а банку молока — за 3 минуты, Кролик вычислил наименьшее время, за которое гости смогли бы уничтожить его запасы. Чему равно это время? (Банку молока и горшок меда можно делить на любые части).
Подробнее
На совместной конференции партий лжецов и правдолюбов в президиум было избрано 32 человека, которых рассадили в четыре ряда по 8 человек. В перерыве каждый член президиума заявил, что среди его соседей есть представители обеих партий. Известно, что лжецы всегда лгут, а правдолюбы всегда говорят правду. При каком наименьшем числе лжецов в президиуме возможна описанная ситуация? (Два члена президиума являются соседями, если один из них сидит слева, справа, спереди или сзади от другого).
Подробнее
Доказать иррациональность числа $\sqrt{2}$.
Подробнее
Найдите все простые числа $p$, $q$, $r$ и $s$ такие, что их сумма -простое число, а числа $p^{2}+qs$ и $p^{2}+qr$ -квадраты натуральных чисел. (Числа $p$, $q$, $r$ и $s$ предполагаются различными.)
Подробнее