2018-09-15
Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, делящееся на 11.
Решение:
Если в десятичной записи числа есть цифра 0 или две одинаковые цифры, то, вычеркнув остальные цифры, мы получим число, делящееся на 11. Значит, искомое число не более чем девятизначное, и все его цифры различны. Наибольшее из таких чисел — 987654321. Докажем, что оно удовлетворяет условию задачи.
Пусть после вычеркивания $n \geq 0$ цифр из числа 987654321 получилось число $\overline{a_{2k}a_{2k - 1} \cdots a_{2}a_{1} }$, в котором $a_{2k} > a_{2k - 1} > \cdots a_{2} > a_{1}$ (если число цифр в получившемся числе нечетно, то припишем в конце нуль, что не изменит делимости на 11). Тогда
$(a_{2k} - a_{2k - 1}) + (a_{2k - 2} - a_{2k - 3}) + \cdots + (a_{2} - a_{1}) > 0$ и
$a_{2k} - (a_{2k-1} - a_{2k - 2}) - (a_{2k - 3} - a_{2k - 4}) - \cdots - a_{1} \leq a_{2k} \leq 9$.
Поэтому число
$a_{2k} + a_{2k-2} + \cdots + a_{2} - a_{2k-1} - a_{2k-3} - \cdots - a_{1}$
не делится на 11, а, значит, не делится на 11 и число
$\overline{a_{2k}a_{2k-1} \cdots a_{2}a_{1} }$.
Ответ. 987654321.