В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы. Какое наименьшее количество месяцев должно пройти, чтобы любые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?
Подробнее
Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй -на треть, третий -на четверть, четвертый -на одну пятую, пятый -на одну восьмую, шестой -на одну девятую, и седьмой -на одну десятую. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться заполненным
а) на одну двенадцатую; б) на одну шестую?
Подробнее
Прямоугольник m х n разрезан на уголки:
Докажите, что разность между количеством уголков вида a и количеством уголков вида b делится на 3.
Подробнее
Найдите все простые числа, которые являются одновременно суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел.
Подробнее
В городе Цветочном n площадей и m улиц $ (m \geq n +1) $. Каждая улица соединяет две площади и не проходит через другие площади. По существующей в городе традиции улица может называться либо синей, либо красной. Ежегодно в городе происходит переименование: выбирается площадь и переименовываются все выходящие из нее улицы. Докажите, что вначале можно назвать улицы так, что переименованиями нельзя добиться одинаковых названий у всех улиц города.
Подробнее
Вычислите сумму: $1 + 4 + 7 + \cdots + 97 + 100$.
Подробнее
К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.
Подробнее
Делится ли число $\underbrace{66 \cdots 6}_{1998 цифр}$ на 9? Ответ обоснуйте.
Подробнее
Средний возраст одиннадцати футболистов — 22 года. Во время игры один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?
Подробнее
В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в автобусе сидело 13 человек, то 9 сидений были полностью свободными, а когда сидело 10 человек, то свободными были 6 сидений. Сколько сидений в автобусе?
Подробнее
Какое наименьшее количество плоских разрезов необходимо сделать, чтобы разрезать куб на 64 маленьких кубика? После каждого разреза разрешается перекладывать образовавшиеся части в любое место.
Подробнее
В клетках шахматной доски записаны в произвольном порядке натуральные числа от 1 до 64 (в каждой клетке записано ровно одно число и каждое число записано ровно один раз). Может ли в ходе шахматной партии сложиться ситуация, когда сумма чисел, написанных в клетках, занятых фигурами, ровно вдвое меньше суммы чисел, записанных в клетках, свободных от фигур?
Подробнее
На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: «Он - рыцарь!», либо «Он - лжец!». Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?
Подробнее
Может ли натуральное число иметь в полтора раза больше нечетных делителей, чем четных? Ответ объясните.
Подробнее
Шахматный конь хочет попасть из левого нижнего угла в правый верхний угол на доске размером $2002 \times 2003$, делая ходы только вправо и вверх (см. рисунок). Сможет ли он это сделать? Ответ объясните.
Подробнее