Твердое тело вращается с угловой скоростью $\vec{ \omega}$ относительно некоторой фиксированной оси. Покажите, что скорость любой точки Р этого тела равна $\vec{v} = \vec{ \omega} \times \vec{r}$, где $\vec{r}$ - вектор, проведенный из произвольно выбранной точки, расположенной на оси вращения, к данной.
Подробнее
Твердое тело вначале поворачивается на бесконечно малый угол $\Delta \theta_{1}$ относительно одной оси, а затем на бесконечно малый угол $\Delta \theta_{2}$ относительно другой оси, пересекающей первую в точке 0. Покажите, что общее смещение любой точки рассматриваемого тела такое же, как если бы оно было сразу повернуто на некоторый бесконечно малый угол относи-teyibHo промежуточной оси. Как найти ось и угол? Докажите, что твердое тело, подвергнутое одновременно действию нескольких угловых скоростей относительно различных осей, движется так, как если бы на него действовала только одна угловая скорость, равная векторной сумме всех слагающих скоростей. (Каждую угловую скорость следует рассматривать как вектор длины $\omega$, направленный вдоль оси вращения.)
Подробнее
Система $N$ частиц с массами $m$, координатами $\vec{r}_{i}$ и скоростями $\vec{v}_{i}$ обладает моментом количества движения, равным
$\vec{L} = \sum_{i=1}^{N} ( \vec{r}_{i} \times \vec{p}_{i}) = \sum_{i} m_{i}( \vec{r}_{i} \times \vec{v}_{i})$.
Если же рассматривать систему координат, жестко связанную с центром масс, то можно считать, что система имеет момент количества движения $\vec{L}_{ц.м.}$. Пусть $\vec{R}_{ц.м.}$ и $\vec{v}_{ц.м.}$ - это положение и скорость центра масс, а $M = \sum_{i = 1}^{N}$ - общая масса всех частиц. Покажите, что
$\vec{L} = \vec{L}_{ц.м.} + M(R_{ц.м.} \times \vec{v}_{ц.м.})$.
Подробнее
а) Любые три вектора $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ можно рассматривать как определяющие твердое тело с шестью попарно параллельными плоскостями, т. е. параллелепипед. Покажите, что объем этого тела равен
$V = | \vec{A} \cdot ( \vec{B} \times \vec{C}) |$.
б) Параллелепипед, одна из вершин которого находится в начале координат, имеет три соседние вершины в точках (10, -5, 3), (3, -4, 7) и (-5, -6, 3). Используется прямоугольная система координат (х, у, z). Чему равен объем параллелепипеда?
Подробнее
Два однородных одинаковых жестких стержня АВ и АС скреплены в точке $A (AC \perp AB)$ и перемещаются на гладком горизонтальном столе. В точке С перпендикулярно АС наносится горизонтальный удар. Найдите отношение скоростей центров масс стержней АВ и АС немедленно после удара.
Подробнее
Маховик, имеющий форму однородной тонкой круглой пластинки массы 10,0 кг и радиуса 1,00 м, смонтирован на оси, проходящей через центр масс и составляющей угол $1^{ \circ}$ с перпендикуляром, восстановленным к плоскости маховика. Если последний вращается относительно этой оси с угловой скоростью 26,0 рад/сек, то чему равна пара сил, приложенная к его подшипникам?
Подробнее
Два тела с одинаковыми массами $m$, скрепленные жестким стержнем (не имеющим массы) на расстоянии $2r$ друг от друга, притягиваются гравитационным образом телом массы $M$, расположенным на расстоянии $R \gg r$ от центра стержня. Стержень составляет угол $\theta$ с направлением $R$. Найдите приближенную величину пары сил, приложенной к стержню, относительно его центра.
Подробнее
Как Луна, так и Солнце в результате действия на Землю образуют пару сил, поскольку Земля слегка сплющена. Какое тело образует большую пару сил и приблизительно во сколько раз? (См. задачу 10798)
Подробнее
Экваториальный и полярный радиусы Земли равны 6378,388 и 6356,912 км соответственно. Плотность $\rho$ на различных глубинах $D$, отсчитанных на поверхности Земли, приведена ниже (звездочкой помечена разрывность):
Используя эти значения, оцените:
а) момент инерции Земли;
б) ее вращательный момент количества движения;
в) кинетическую энергию вращения.
Подробнее
1) Симметричное тело начинает катиться (без скольжения) вниз по наклонной плоскости с высоты $h$. Момент инерции тела относительно собственного центра масс равен $I$, масса $M$, радиус поверхности качения, находящейся в контакте с наклонной плоскостью, $r$. Определите линейную скорость центра масс в нижней точке наклонной плоскости.
2) Примените полученное вами общее выражение для определения скорости центра масс тела, если это тело а) сфера; б) диск; в) диск массы $M_{1}$ с внешним радиусом $R_{1}$, насаженный на вал массы $m_{2}$ и радиуса $r_{2}$.
Подробнее
Тонкий стержень массы $M$ и длины $L$ лежит на горизонтальной абсолютно гладкой поверхности. Маленький кусочек замазки такой же массы, обладающей скоростью $v$, которая направлена перпендикулярно стержню, ударяется об один конец стержня и прилипает к нему, совершая тем самым неупругое столкновение очень малой продолжительности.
а) Какова скорость центра масс системы до и после столкновения?
б) Чему равен момент количества движения системы относительно ее центра масс непосредственно перед столкновением?
в) Чему равна угловая скорость (относительно центра масс) сразу же после столкновения?
г) На сколько уменьшается кинетическая энергия системы при столкновении?
Подробнее
Если весь лед на Земле растопить, то средний уровень мирового океана поднимется приблизительно на 61 м. Примите среднюю широту, где находятся льды, равной $80^{ \circ}$; нерегулярным распределением водных масс океанов на Земле пренебрегите и рассчитайте, на сколько секунд увеличится при этом длина дня? Предполагаем, что Земля - сфера радиуса 6370 км с моментом инерции $8,11 \cdot 10^{37} кгм^{2}$.
Подробнее
Однородный стержень длины $L$ и массы $M$ покоится на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности. За очень малый промежуток времени он получает импульс $J= \int Fdt$, приложенный в точке $P$ ($OP = r$).
а) Чему равна скорость центра масс О сразу же после сообщения импульса? Чему равна угловая скорость относительно точки О? Какова мгновенная скорость точки А на другом конце стержня?
б) Определите расстояние АР, для которого скорость точки А равнялась бы нулю сразу же после удара?
Подробнее
К окружности радиуса 7 проведены две касательные из одной точки, удалённой от центра на расстояние, равное 25. Найдите расстояние между точками касания.
Подробнее
Две окружности радиусов $r$ и $R$ касаются внешним образом. Из центра одной окружности проведена касательная к другой, а из полученной точки касания проведена касательная к первой окружности. Найдите длину последней касательной.
Подробнее