Прямолинейная однородная проволока длины $L$ и массы $M$ согнута посередине, и концы ее образуют между собой угол $\theta$. Чему равен ее момент инерции относительно оси, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости проволоки?
Подробнее
Металлическая пластинка неправильной формы, но постоянной толщины имеет массу $M$ и центр тяжести ее расположен в точке С. Момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости пластинки (и проходящей через точку А), известен и равен $I_{A}$. При каких условиях, налагаемых на расстояния $r_{1}, r_{2}$ и $r_{3}$ справедливо следующее выражение для момента инерции пластинки относительно оси, также перпендикулярной плоскости пластинки, но проходящей через точку В:
$I_{B} = I_{A} + Mr_{3}^{2}$?
Подробнее
Круг радиуса $R$ вращается вокруг своей касательной $AA^{ \prime}$. При этом образуется тело вращения, называемое тором. Найдите объем этого тора.
Подробнее
Материальные точки с массами $M_{1}$ и $M_{2}$ помещены на противоположных концах невесомого стержня длины $L$. Стержень приводится во вращение вокруг оси, перпендикулярной ему. Через какую точку стержня должна проходить ось вращения, чтобы энергия, затрачиваемая на достижение заданной угловой скорости $\omega_{0}$, была минимальна?
Подробнее
Для замедления вращательного движения искусственных спутников используется следующее устройство. Однородный круглый диск радиуса $R$ и массы $M$ может свободно вращаться в горизонтальной плоскости вокруг шарнира Р, установленного в центре диска. На краю диска укреплены два маленьких груза, масса каждого из них $m$. С диском их соединяют две нити длины $l$, намотанные по его периферии (см. рисунок). Когда диск вращается, грузики одновременно освобождаются без изменения полного момента количества движения системы. После этого грузики отлетают от диска, и в тот момент, когда нити натягиваются вдоль радиальных направлений, они соскакивают с крючков $H$ и $H^{ \prime}$, позволяя грузикам улететь. Найдите длину нитей $l$, при которой угловая скорость диска в результате этой операции уменьшится в $n$ раз.
Подробнее
Джим находится в системе координат $(x^{ \prime} , y^{ \prime})$ и вращается относительно Джо, который неподвижен и находится в системе координат $(x, y)$. Найдите выражение для компонент силы, которая, по мнению Джима, действует на некоторую частицу, и покажите, что она складывается из компонент истинной силы $\vec{F}$, которую наблюдает и Джо, и двух псевдосил: радиальной центробежной силы и силы Кориолиса, которая перпендикулярна скорости.
Подробнее
Однородный шар радиуса $R$ и массы $M$ в начальный момент пущен по плоскости так, что он скользит по ней без качения. Между шаром и плоскостью существует трение, коэффициент которого равен $\mu$. Какое расстояние пройдет шар, прежде чем его движение превратится в качение без скольжения, и какова будет к этому моменту его скорость?
Подробнее
На рисунке изображена упрощенная схема устройства для подачи типографской краски в печатном станке. Краска подается из барабана К, который свободно вращается на закрепленной оси. Момент инерции этого барабана пренебрежимо мал; Р - ведомый печатный вал с неподвижной осью, а Т - передающий валик, свободно катящийся по К и Р. Валик Т - это сплошной цилиндр радиуса $r$ и массы $M$; он все время катится по К и Р без скольжения, и геометрия устройства такова, что линия, соединяющая оси Т и Р, образует с горизонталью угол $\theta$. Какое максимальное угловое ускорение $A$ можно сообщить валу Р без потери контакта между Т и К?
Подробнее
Сплошной цилиндр состоит из четырех секций - квадрантов, причем плотности материалов, из которых сделаны разные секции, различаются и относятся, как числа, указанные на рисунке. Проведем оси х и у так, как показано на рисунке; как будет выглядеть уравнение прямой, проходящей через начало координат и через центр масс цилиндра?
Подробнее
Найдите положение центра масс однородной проволоки, изогнутой по дуге окружности радиуса $R$. Длина проволоки $L (R > L/2 \pi)$. Используйте систему координат с началом в центре окружности и с осью х, проходящей через середину проволоки.
Подробнее
Используя результат задачи 10786 или другим способом, найдите центр тяжести сектора с углом раствора $\alpha$, вырезанного из однородного диска радиуса $R$.
Подробнее
Цилиндр, радиус которого $\pi см$, а масса 3 кг, разрезан на три равные части. То же самое сделано с другим цилиндром радиусом $\pi см$, но весом уже 6 кг. Эти куски склеены друг с другом, как показано на рисунке, причем линия ОА направлена горизонтально. Стенка абсолютно гладкая, а «пол» - абсолютно шероховатый.
а) С какой силой цилиндр давит на стенку?
б) На каком расстоянии от центра на линии ОА следует поместить материальную точку массы $m$, чтобы система оставалась в равновесии и после удаления стенки?
Подробнее
Из квадратной металлической пластинки с длиной ребра $a$ необходимо вырезать с одной стороны равнобедренный треугольник так, чтобы оставшаяся фигура, будучи подвешена за точку Р (вершину треугольника), оставалась в равновесии независимо от положения. Чему равна высота треугольника?
Подробнее
Катушка состоит из двух одинаковых дисков радиуса $R$ и массы $M$, насаженных на невесомую ось радиуса $r$. Нить, намотанная на ось катушки, прикреплена к потолку. Расстояние от катушки до потолка равно $D$ (см. рисунок). Из этого состояния катушка начинает двигаться вниз.
а) Какой угол должна образовать нить с вертикалью в начальный момент, чтобы, опускаясь, катушка не раскачивалась?
б) Каково вертикальное ускорение центра катушки?
Подробнее
Поворотный стол с моментом инерции $I_{0}$ свободно вращается вокруг вертикальной оси. На столе проложена прямолинейная радиальная дорожка, по которой может без трения двигаться тележка массы $m$ (см. рисунок). Нить, привязанная к тележке, перекинута через маленький блок, а затем уходит под стол через полую ось. Первоначально система вращается с угловой скоростью $\omega_{0}$, и тележка находится на фиксированном расстоянии $R$ от оси. Затем нить некоторой внешней силой втягивается внутрь оси на такое расстояние, что тележка теперь отделена от оси меньшим промежутком $r$ и остается в этом положении.
а) Чему равна угловая скорость системы в конечном состоянии?
б) Покажите подробно, что разность между значениями энергии системы в конечном и начальном состояниях равна работе, которую совершила сила, вытягивающая нить.
в) Если нить отпустить, с какой радиальной скоростью $v_{r}$ пройдет тележка через точку $R$?
Подробнее