Докажите, что для любого $k > 1$ найдется степень 2 такая, что среди $k$ последних ее цифр не менее половины составляют девятки. (Например, $2^{12} = \cdots 96, 2^{53} = \cdots 992$.)
Подробнее
М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20%?
Подробнее
Докажите, что все числа $10017, 100117, 1001117, \cdots$ делятся на 53.
Подробнее
Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ и точка $O$ внутри него. Известно, что $\angle AOB = \angle COD = 120^{\circ}$, $AO = OB$ и $CO = OD$. Пусть $K, L$ и $M$ - середины отрезков $AB, BC$ и $CD$ соответственно. Докажите, что а) $KL = LM$; б) треугольник $KLM$ - правильный.
Подробнее
Достаточно ли для изготовления закрытой со всех сторон прямоугольной коробки, вмещающей не менее 1995 единичных кубиков, а) 962; б) 960; в) 958 квадратных единиц материала?
Подробнее
Несколько населенных пунктов соединены дорогами с городом, а между ними дорог нет. Автомобиль отправляется из города с грузами сразу для всех населенных пунктов. Стоимость каждой поездки равна произведению веса всех грузов в кузове на расстояние. Докажите, что если вес каждого груза численно равен расстоянию от города до пункта назначения, то общая стоимость перевозки не зависит от порядка, в котором объезжаются пункты.
Подробнее
Прямая отсекает треугольник $AKN$ от правильного шестиугольника $ABCDEF$ так, что $AK + AN = AB$. Найдите сумму углов, под которыми отрезок $KN$ виден из вершин шестиугольника $(\angle KAN + \angle KBN + \angle KCN + \angle KDN + \angle KEN + \angle KFN)$.
Подробнее
Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то получится число, делящееся на 19.
Подробнее
Дан равносторонний треугольник $ABC$. Для произвольной точки $P$ внутри треугольника рассмотрим точки $A^{ \prime}$ и $C^{ \prime}$ пересечения прямых $AP$ с $BC$ и $CP$ с $BA$ соответственно. Найдите геометрическое место точек $P$, для которых отрезки $AA^{ \prime}$ и $CC^{ \prime}$ равны.
Подробнее
Прямоугольник размером $1 \times k$ при всяком натуральном $k$ будем называть полоской. При каких натуральных $n$ прямоугольник размером $1995 \times n$ можно разрезать на попарно различные полоски?
Подробнее
Натуральные числа $a, b, c, d$ таковы, что $ab = cd$. Может ли число $a+b+c+d$ быть простым?
Подробнее
Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.
Подробнее
Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на банках стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может всем это доказать (т. е. обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов на чашках. Докажите, что ему для этой цели
а) достаточно четырех взвешиваний;
б) недостаточно трех взвешиваний.
Комментарий. Отметим еще раз, что завхоз должен обосновать, что в какой банке находится для всех 80 банок.
Подробнее
Известно число $\sin \alpha$. Какое наибольшее число значений может принимать а) $\sin \frac { \alpha}{2}$, б) $\sin \frac{ \alpha}{3}$?
Подробнее
Диагонали трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $K$. На боковых сторонах трапеции, как на диаметрах, построены окружности. Точка $K$ лежит вне этих окружностей. Докажите, что длины касательных, проведенных к этим окружностям из точки $K$, равны.
Подробнее