Пусть $F$ - поверхность в $\mathbf{R}^{3}$, заданная уравнением $z = f(x, y), f \in C^{2}(\mathbf{R}^{2})$. Доказать, что если в некоторой точке ($x_{0}, y_{0}$) выполнено неравенство $f_{xx}^{\prime \prime}f_{yy}^{\prime \prime} > 0$, то найдется окрестность точки $M_{0}(x_{0}, y_{0}, f(x_{0}, y_{0}))$, в которой поверхность $F$ и касательная плоскость $P$ в точке $M_{0}$ имеют лишь одну общую точку.

Подробнее

Пусть $f(x, y) \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{2})$ и $\alpha > 0$ - иррациональное число. Доказать, что если $f(x, x^{\alpha}) = o(x^{n}) (x \rightarrow 0 + )$ при любом $n \in \mathbf{N}$, то и $f(x, y) = o(|x|^{n} + |y|^{n}) (x, y \rightarrow 0)$ при любом $n \in \mathbf{N}$.

Подробнее

Обозначим через $M$ график функции $y = |x|$ (будем рассматривать $M$ как подмножество $\mathbf{R}^{2}$). Через $C^{\infty}(M)$ обозначим кольцо функций на $M$, являющихся ограничениями функций из $C^{\infty}(\mathbf{R}^{2})$. Доказать, что не существует $\mathbf{R}$ -линейного изоморфизма колец $C^{\infty}(M)$ и $C^{\infty}(\mathbf{R})$.

Подробнее

Привести пример функции переменных $x$ и $y$, дважды непрерывно дифференцируемой по каждому переменному в области $U = \{(x, y) : x^{2} + y^{2} < 1 \}$ и не имеющей смешанной производной в точке (0, 0).

Подробнее

Пусть $Q$ - линейное отображение из $C^{\infty}(\mathbf{R}^{n})$ в $\mathbf{R}$. Известно, что если $f \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{n}), f(0) = 0$ и $f(x) \geq 0$ -в некоторой окрестности нуля, то $Q(f) \geq 0$. Доказать, что найдутся числа $a_{ij}, b_{i}, c (i, j \in \{1, 2, \cdots, n \})$ такие, что для любой функции $f \in C^{\infty}(\mathbf{R}^{n})$
$Q(f) = \sum_{i,j = 1}^{n} a_{ij} \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (0) + \sum_{i = 1}^{n}b_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (0) + cf(0)$.

Подробнее

Найти
$lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} max (x_{1}, \cdots, x_{n}) dx_{1} \cdots dx_{n}$.

Подробнее

Пусть $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ - непрерывная неотрицательная функция и $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1$. Обозначим
$I_{n}(r) = \underset{x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} \leq r^{2}}{\int \cdots \int} f(x_{1}) \cdots f(x_{n}) dx_{1} \cdots dx_{n}$

Подробнее

Доказать, что для любой непрерывной функции $u(x)$, не равной нулю тождественно и такой, что $\int_{- \infty}^{\infty} |u(x)| dx < \infty$, выполняется неравенство
$\int_{-infty}^{\infty} \int_{-infty}^{\infty} e^{-(x - y)^{2}} u(x)u(y) dxdy > 0$.

Подробнее

Постройте треугольник $ABC$, в котором даны $|AC| = b, |AB| = c$ и $\hat{AMB} = \omega ( \omega < 90^{\circ}$), причем $M$ - середина отрезка $BC$. Докажите, что задача имеет решение тогда и только тогда, когда
$b \cdot tg \: \frac{\omega}{2} \leq c < b$.
В каком случае имеет место знак равенства?

Подробнее

Найти решение матричного дифференциального уравнения #\frac{dX}{dt} = AX +XB# где #A, B# "” постоянные матрицы порядка #n,# удовлетворяющее условию #X(0) = E.#

Подробнее

В квадратной матрице #A# порядка #2n# на главной диагонали стоят нули, а остальные элементы равны #\pm 1# Доказать, что #det A \neq 0.#

Подробнее

Частица движется из точки #A# в точку #B# по прямой, не меняя направления движения. Расстояние #AB = 1# время движения равно 1, в начальный и конечный моменты времени движения скорость равна нулю. Доказать, что в некоторый момент времени абсолютная величина ускорения частицы равна 4.

Подробнее

Существует ли непрерывная функция #f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},# принимающая рациональные значения в иррациональных точках и иррациональные значения в рациональных точках;

Подробнее

Доказать, что функция #T(x) = \frac{a_{0}}{2} + \cos x + \sum_{k=2}^{\infty} a_{k} \cos kx,# где #|a_{0}| < 1,# принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Подробнее

Пусть #A#и #B# "” замкнутые выпуклые множества на плоскости. Следует ли отсюда, что их сумма #A+B = {x \in \mathbf{R}^{2} | x = a+ b, a \in A, b \in B}# тоже замкнутое множество?

Подробнее