Пусть $f(x)$ - непрерывная функция на $[0, 1]$, а $\phi(x)$ - непрерывная функция на $(- \infty, + \infty)$, периодическая с периодом $T$. Доказать, что
$lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(x) \phi(nx) dx = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \phi(t) dt \int_{0}^{1} f(x) dx$.
Подробнее
Функция $f(x): [a, b] \rightarrow \mathbf{R}$ дифференцируема и $|f^{\prime}(x)| \leq 1$ всюду на отрезке $[a, b]$. Доказать, что если $x_{0} = a < x_{1} > x_{2} < \cdots < x_{n} = b, max_{1 \leq i \leq n} (x_{i} – x_{i-1}) \leq \frac{1}{b- a}, \xi_{i} \in [x_{i-1}, x_{i})$, то
$\left | \int_{a}^{b} f(x) dx - \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) (x – x_{i}) \right | \leq \frac{1}{2}$,
и показать, что приведенная оценка неулучшаема.
Подробнее
Пусть $f(x)$ интегрируема по Риману на отрезке $[a, b]$ и $0 \leq f(x) \leq 1$. Доказать, что для любого $\varepsilon > 0$ существует кусочно-постоянная функция $g(x)$, принимающая два значения 0 и 1, такая, что для любого отрезка $[\alpha, \beta] \subset [a, b]$
$\left | \int_{\alpha}^{\beta} (f(x) – g(x)) dx \right | < \varepsilon$.
Подробнее
Длина эллипса $x = a \cos t, y = b \sin t (0 \leq t \leq 2 \pi)$ равна $S$. Положим $t_{k} = k 2 \pi /n, M_{k} = (x(t_{k}), y(t_{k}))$. Обозначим через $p_{n}$ периметр многоугольника $M_{0}M_{1} \cdots M_{n-1}$, вписанного в эллипс, а через $q_{n}$ - периметр многоугольника $N_{0}N_{1} \cdots N_{n-1}$, описанного около эллипса и касающегося его в точках $M_{0}, M_{1}, \cdots, M_{n-1}$. Найти пределы
$lim_{n \rightarrow \infty} n^{2}(S – p_{n}), lim_{n \rightarrow \infty} n^{2}(q_{n} - S)$.
При каких $\alpha$ и $\beta$ конечен предел $lim_{n \rightarrow \infty} n^{4} (S - \alpha p_{n} - \beta q_{n})$? Чему он равен?
Подробнее
Пусть $f(x)$ - положительная непрерывно дифференцируемая функция на интервале $(0, + \infty)$. Доказать, что
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{1 + (f^{\prime})^{2}}}{f} dx = \infty$.
Подробнее
Функция $u(x)$ непрерывно дифференцируема на полуоси $(0, + \infty)$, причем $u > 0,u^{\prime} > 0$. Доказать, что если
$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{u(x) + u^{\prime}(x)} < \infty$,
то и
$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{u(x)} < \infty$.
Подробнее
Функция $f(x)$ имеет непрерывную производную на $[0, + \infty)$, причем
$\int_{0}^{\infty} |f^{\prime}(x)| dx < \infty$
Доказать, что ряд $\sum_{n=0}^{\infty}f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл
$\int_{0}^{\infty} f(x) dx$.
Подробнее
Пусть $f$ - неотрицательная непрерывная функция на $[0, + \infty)$, причем $\int_{0}^{\infty} f(x)dx = \infty$. Доказать, что найдется число $a > 0$ такое, что
$\sum_{n =1}^{\infty} f(na) = \infty$.
Подробнее
Функция $f(x)$ непрерывна на $( - \infty, + \infty)$ и для любых чисел $a, b$
$f(a) + f(b) \geq \int_{a}^{b}f(x)^{2} dx$.
Доказать, что $f \equiv 0$.
Подробнее
Существует ли положительная монотонно возрастающая функция $f(x), x \geq 0$, такая, что для любого $y > 0$
а) $\int_{0}^{y}f(x)^{2} dx \geq \left ( \int_{0}^{y} f(x) dx \right )^{2}$;
б) $\int_{0}^{y}f(x)^{2} dx \geq \left ( \int_{0}^{y} f(x) dx \right )^{2,01}$?
Подробнее
Пусть $u(x)$ - положительная непрерывная функция, определенная на $[0, + \infty)$, причем
$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{u(x)} < \infty$.
Доказать, что
$lim_{A \rightarrow \infty} \frac{1}{A^{2}} \int_{0}^{A} u(x) dx = \infty$.
Подробнее
Пусть $f(x)$ - непрерывная функция такая, что для любого целого числа $m$
$\int_{0}^{1} f(x + m)dx = 0$.
Доказать, что найдется непрерывная функция $g(x)$ такая, что
$f(x) = \frac{d}{dx} (g(x) \sin \pi x)$.
Подробнее
Пусть $S$ - линейное подпространство в $L^{\infty}[0, 1], M$ - положительное число. Известно, что для любой функции $f \in S$ выполняется неравенство
$\| f \|_{L^{\infty}} \leq M \| f \|_{L^{2}}$.
Доказать, что $dim S \leq M^{2}$.
Подробнее
Пусть $f: \mathbf{R}^{m} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ - такое непрерывное отображение, что
$sup_{x,y \in \mathbf{R}^{m}} \| f(x+y) – f(x) – f(y) \| < \infty$.
Доказать, что существует единственное линейное отображение $g: \mathbf{R}^{m} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ такое, что
$sup_{x \in \mathbf{R}^{m}} \| f(x) – g(x) \| < \infty$.
Подробнее
Функция $f(x, y)$ непрерывна вместе со своими производными по $x$ и по $y$ и удовлетворяет условиям: $f(0,0) = 0, |\partial f / \partial x| \leq 2|x - y|, |\partial f / \partial y| \leq 2|x - y|$. Доказать, что $| f(5, 4)| \leq 1$.
Подробнее
