Человек, стоящий на берегу реки шириной в 1 милю, хочет переправиться на другой берег, в прямо противоположную точку. Он может сделать, это двумя способами: 1) плыть все время под углом к течению, так что результирующая скорость будет все время перпендикулярна берегу; 2) плыть прямо к противоположному берегу, а расстояние, на которое его снесет течением, пройти затем по берегу пешком. Плавает он со скоростью 2,5 мили в час, а идет со скоростью 4 мили в час. Скорость течения 2 мили в час. Какой способ позволит переправиться скорее?
Подробнее
Даны два одинаковых клина с углами наклона $45^{ \circ}$ и одинаковыми массами $M_{1} = M_{2} = 8,0 кг$. Все плоскости абсолютно гладкие, как и у груза с массой $M = 384 кг$, который требуется приподнять с помощью этих клиньев. Оба клина лежат на гладкой горизонтальной плоскости; один из них упирается в вертикальную стену, а к другому приложена горизонтальная сила $F = 592 кГ$.
а) Найдите величину и направление ускорения подвижного клина $M_{1}$.
б) Найдите величину и направление ускорения груза $M$.
в) С какой силой давит неподвижный клин $M_{2}$ на груз $M$?
Подробнее
Материальная точка с массой $m$ висит на конце нити произвольной заданной длины, а другой конец нити прикреплен к шаровому шарниру, в котором отсутствует трение. Эта материальная точка приводится в движение по круговому горизонтальному пути, который лежит в плоскости, отстоящей от шарнира на $H$. Найдите период движения.
Подробнее
Обобщите результаты задач 10701 и 10704 на трехмерное движение, используя векторную символику. Введите обозначение $M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i}$.
Подробнее
Найдите кинетическую энергию частиц, описанных в задаче 10713, в системе ц. м. до столкновения.
Подробнее
Движущаяся частица испытывает абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей равной массы. Покажите, что после соударения частицы разлетаются под прямым углом.
При анализе двухчастичных столкновений полезно использовать следующий подход:
1) Найдите $\vec{v}_{ц.м.}$, т. е. скорость системы ц. м.
2) Вычтите $\vec{v}_{ц.м.}$ из $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ (скорости первой и второй частиц до столкновения), чтобы получить начальные скорости в системе ц. м., т. е. $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime}$.
3) Импульсы обеих частиц теперь равны по величине и противоположны по направлению.
4) Происходит столкновение, в результате которого:
а) поворачивается линия относительно движения частиц 1 и 2;
б) абсолютные величины векторов $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime}$ увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными в зависимости от того, выделяется, поглощается или остается неизменной энергия в процессе столкновения.
5) Прибавьте $v_{ц.м.}$ к скоростям $\vec{v}_{1}^{ \prime}$ и $\vec{v}_{2}^{ \prime}$ в системе ц. м. после соударения. Получатся скорости $\vec{v}_{1}$ и $\vec{v}_{2}$ после столкновения в «лабораторной» системе.
Подробнее
Два маленьких шарика А и В движутся под действием силы тяжести с ускорением $9,8 м/сек^{2}$. Масса каждого шарика равна 1 г (ускорение считать направленным по оси $z$). Заданы следующие начальные условия: при $t = 0$
$\vec{r}_{a}(0) = 7 \vec{i} + 4,9 \vec{k} м, \vec{v}_{a}(0) = 7 \vec{i}+ 3 \vec{j} м/сек$,
$\vec{r}_{b}(0) = 49 \vec{i} + 4,9 \vec{k} м, \vec{v}_{b}(0)= - 7 \vec{i} +3 \vec{j} м/сек$.
Найдите $\vec{r}_{a}(t)$ и $\vec{r}_{b}(t)$ для всех моментов времени $t > 0$.
Подробнее
Частица массы $m_{1}$ налетает со скоростью $\vec{v}_{1}$ на покоящуюся частицу, масса которой $m_{2} = 3m_{1}$. Происходит абсолютно упругое соударение, после которого частица $m_{2}$ движется под углом $\theta_{2} = 45^{ \circ}$ к первоначальному направлению движения частицы $m_{1}$ (см. рисунок). Требуется найти $\theta_{1}$ -угол отклонения первой частицы и величины скоростей $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$.
Подробнее
Частица массы $M$ налетает на покоящуюся частицу массы $m$ ($m < M$), и происходит упругое столкновение. Найдите максимально возможное значение угла отклонения налетающей частицы.
Подробнее
Частица массы $m$ упруго сталкивается с покоящейся, масса которой $M > m$, и отклоняется от первоначального направления на $90^{ \circ}$. Под каким углом $\theta$ к направлению первоначального движения полетит более тяжелая «частица отдачи»?
Подробнее
Пусть в столкновении, описанном в задаче 10719, теряется доля $1 - \alpha^{2}$ кинетической энергии в системе ц. м. Чему равен в этом случае угол вылета частицы отдачи, покоящейся до столкновения?
Подробнее
Частица с массой 1 кг движется так, что ее положение в любой момент времени определяется радиусом-вектором
$\vec{r} = t \vec{i} + \left ( t + \frac{t^{2}}{2} \right ) \vec{j} - \left ( \frac{4}{ \pi^{2} } \right ) \sin \pi \frac{t}{2} \vec{k}$.
а) Определите положение, скорость, ускорение и кинетическую энергию частицы в моменты времени $t=0$ и $t = 1 сек$.
б) Получите выражение для силы, которая заставляет частицу двигаться.
в) Найдите радиус кривизны траектории частицы в момент времени $t =1 сек$.
Подробнее
Используйте векторную алгебру для нахождения расстояния по дуге большого круга между двумя точками земной поверхности, долгота и широта которых равны соответственно $( \lambda_{1}, \phi_{1})$ и $( \lambda_{2}, \phi_{2})$.
Примечание. Используйте прямоугольную систему координат с началом в центре Земли. Одну ось этой системы направьте вдоль земной оси, другую - в направлении, определяемом углами $\lambda = 0, \phi = 0$, а третью - под углами $\lambda = 0, \phi =90^{ \circ}$. (Долгота пусть меняется от 0 до $360^{ \circ}$ с востока на запад.)
Подробнее
Чему равны величина и направление ускорения Луны:
а) в новолуние?
б) в первую четверть?
в) в полнолуние?
Примечание. Расстояние от Земли до Солнца равно $1,5 \cdot 10^{8} км$, расстояние от Земли до Луны $3,85 \cdot 10^{ 5} км$, масса Солнца составляет $3,33 \cdot 10^{5}$ земных масс.
Подробнее
Кирпич массы $m$ скользит по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\theta$. Если коэффициент трения скольжения $\mu < tg \theta$, то с каким ускорением будет двигаться кирпич:
а) вверх по плоскости?
б) вниз по плоскости?
в) под утлом $\phi$ к горизонтальной линии на плоскости?
(Представьте себе, что к плоскости приложена гладкая линейка, вдоль которой и движется кирпич. Используйте в наклонной плоскости координаты $x$ и $y$; $x$ направьте по горизонтали, а $y$ - вверх по наклонной плоскости.)
Подробнее