Найти наибольшее число точек, которые можно расположить на сфере радиуса 1 так, чтобы расстояние между любыми двумя из них было:
а) не меньше $\sqrt{2}$; б) больше $\sqrt{2}$.
Подробнее
Найти все значения $n \in \mathbf{N}$, большие 1, и $r_{n} > 0$, для которых на сфере радиуса 1 можно расположить непересекающиеся окружности $C_{0}, C_{1}, \cdots, C_{n}$ радиуса $r_{n}$ каждая так, чтобы при любом значении $i = 1, \cdots, n$ окружность $C_{i}$ касалась окружностей $C_{0}$ и $C_{i+1} (C_{n+1} = C_{1})$.
Подробнее
Три окружности, лежащие на сфере и имеющие общий с ней центр О, проходит через точку $A$. Па этих окружностях выбраны точки $B, C, D$ соответственно так, что $\angle AOB = 90^{\circ}$, а прямая $OB$ является биссектрисой угла $COD$. Доказать, что если лучи $AB^{\prime}, AC^{\prime}, AD^{\prime}$ касаются дуг $AB, AC, AD$ соответствующих окружностей, то луч $AB^{\prime}$ является биссектрисой угла $C^{\prime}AD^{\prime}$.
Подробнее
На окружности одного основания прямого кругового цилиндра взяты диаметрально противоположные точки A и B, а на окружности другого основания - точка С, не лежащая на плоскости АВО, где О - середина оси цилиндра. Доказать, что сумма двугранных углов трехгранного угла с вершиной О и ребрами OA, ОВ, ОС равна $360^{\circ}$.
Подробнее
Сумма величин плоских углов выпуклого многогранного угла равна сумме величин его двугранных углов. Доказать, что этот угол является трехгранным.
Подробнее
Можно ли разбить пространство на 1979 равных непересекающихся подмножеств?
Подробнее
Найти наименьшее число плоскостей, разбивающих куб не менее чем на 300 частей.
Подробнее
На плоскостях $\alpha$ и $\alpha^{\prime}$, пересекающихся по прямой $l$, выбрано но три точки: $A, B, C$ и $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ соответственно. Плоскость $\alpha^{\prime}$ вращается вокруг прямой $l$. Доказать, что если прямые $AA^{\prime}, BB^{\prime}, CC^{\prime}$ пересекаются в одной точке при некотором положении плоскости $\alpha^{\prime}$, то и при любом ее положении, отличном от плоскости $\alpha$, они также пересекаются в одной точке. Найти геометрическое место этих точек пересечения.
Подробнее
Рассматриваются повороты вокруг различных осей в пространстве, переводящие вершину $A$ куба $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ - в вершину $B$. Найти геометрическое место точек поверхности этого куба, являющихся образами вершины $C$ при таких поворотах.
Подробнее
Куб в пространстве с прямоугольной системой координат расположен так, что координаты некоторых 4 его вершин, не лежащих в одной плоскости, являются целыми числами. Доказать, что все вершины куба имеют целые координаты.
Подробнее
Доказать, что если прямоугольный параллелепипед можно разбить на прямоугольные параллелепипеды, каждый из которых имеет ребро целочисленной длины, то и исходный параллелепипед тоже имеет такое ребро.
Подробнее
Даны две плоскости $P$ и $Q$, пересекающиеся по прямой $p$. В плоскости $P$ дана точка $A$ и в плоскости $Q$ - точка $C$. Ни одна из этих точек не лежит на прямой $p$. Постройте в плоскости $P$ точку $B$ и в плоскости $Q$ точку $D$, являющиеся вершинами равнобочной трапеции $ABCD (AB \parallel CD$) y в которую можно вписать круг.
Подробнее
Дан куб $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ (см рис.).
а) Найдите геометрическое место середин отрезков $XY$, где $X$ - любая точка отрезка $AC$ и $Y$ - любая точка отрезка $B^{\prime}D^{\prime}$.
б) Найдите геометрическое место точек $Z$ отрезка $XY$, которые удовлетворяют соотношению $|ZY| = 2 |XZ|$.
Подробнее
В прямой круговой конус вписан шар. Около этого шара описан прямой круговой цилиндр, основание которого лежит в плоскости основания данного конуса. $V_{1}$ - объем конуса и $V_{2}$ - объем цилиндра.
а) Докажите, что равенство $V_{1} = V_{2}$ невозможно.
б) Укажите наименьшее значение $k$, при котором имеет место равенство $V_{1} = kV_{2}$, и постройте для этого случая угол при вершине осевого сечения конуса.
Подробнее
В тетраэдре длина одного, и только одного, ребра больше 1. Докажите, что объем тетраэдра не превосходит $\frac{1}{8}$.
Подробнее