Три грани тетраэдра — прямоугольные треугольники, а четвертая грань не тупоугольный треугольник. Докажите, что:
1) необходимым и достаточным условием того, чтобы и четвертая грань была прямоугольным треугольником, является предложение, что ровно два из плоских углов при одной вершине тетраэдра — прямые;
2) если все грани тетраэдра прямоугольные треугольники, то объем тетраэдра равен $\frac{1}{6}$ произведения трех наименьших ребер, не принадлежащих одной грани.
Подробнее
В тетраэдре все пары скрещивающихся ребер взаимно перпендикулярны. Докажите, что все шесть середин его ребер лежат на одной сфере.
Подробнее
Правильная треугольная призма $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер $AB, A_{1}C_{1}, BB_{1}$. Построить сечение призмы, найти площадь сечения и вычислить угол между плоскостью основания $ABC$ и плоскостью сечения, если сторона основания равна 4, а высота призмы равна $\frac{ \sqrt{42}}{7}$.
Подробнее
Две противоположные боковые грани четырехугольной пирамиды $SABCD$ перпендикулярны основанию, высота пирамиды равна $\sqrt{5}$. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция $ABCD (AD = BC)$, описанная около окружности и такая, что $AB = 6, \angle BAD = \frac{ \pi}{3}$. Найти расстояние от точки $D$ до плоскости $SAB$.
Внутри пирамиды расположен конус так, что окружность его основания вписана в треугольник $SCD$, а вершина принадлежит грани $SAB$. Найти объем конуса.
Подробнее
Точка O — основание высоты четырехугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями. Докажите, что отрезок AD проходит через четвертую точку касания.
Подробнее
Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.
Подробнее
Дана пирамида $ABCD$ (см. рисунок). Известно, что $\angle ABB = \angle DBC; \angle ABD = \angle BDC; \angle BAD = \angle ABC$. Найдите площадь поверхности пирамиды (сумму площадей четырех треугольников), если площадь треугольника $ABC$ равна $10 см^{2}$.
Подробнее
В тетраэдре $PABC$ проведены биссектрисы $PA_{1}, PB_{1}$ и $PC_{1}$ треугольников $PBC, PAC$ и $PAB$ соответственно. Докажите, что прямые $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке.
Подробнее
На боковых ребрах $SA$, $SB$ и $SC$ правильной треугольной пирамиды $SABC$ взяты соответственно точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ так, что плоскости $A_{1}B_{1}C_{1}$ и $ABC$ параллельны. Пусть O - центр сферы, проходящей через точки $S$, $A$, $B$ и $C_{1}$. Докажите, что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $ A_{1}B_{1}C$.
Подробнее
Существуют ли выпуклая $n$-угольная ($n \geq 4$) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла $n$-угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?
Подробнее
Даны два правильных тетраэдра с ребрами длины $\sqrt {2}$, переводящихся один в другой при центральной симметрии. Пусть $Ф$ - множество середин отрезков, концы которых принадлежат разным тетраэдрам. Найдите объем фигуры $Ф$.
Подробнее
Из 54 одинаковых единичных картонных квадратов сделали незамкнутую цепочку, соединив их шарнирно вершинами. Любой квадрат (кроме крайних) соединен с соседями двумя противоположными вершинами. Можно ли этой цепочкой квадратов полностью закрыть поверхность куба $3 \times 3 \times 3$?
Подробнее
В пространстве даны $n$ точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы $n - 3$ точки в пространстве ни взять, найдется плоскость из проведенных, не содержащая ни одной из этих $n - 3$ точек.
Подробнее
Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.
Подробнее
Высота и радиус основания цилиндра равны 1. Каким наименьшим числом шаров радиуса 1 можно целиком покрыть этот цилиндр?
Подробнее