2016-09-17
На вбитом в стену гвозде на нити длиной $L$ висит маленький шарик. Под этим гвоздём на одной вертикали с ним на расстоянии $l < L$ вбит второй гвоздь. Шарик отводят вдоль стены так, что нить принимает горизонтальное положение, и отпускают без толчка. Найдите расстояния $l$, при которых шарик перелетит через нижний гвоздь. Нить невесома и нерастяжима, трения нет.
Решение:
Внимание! Возможно решение задачи неверно ссылка на другой ход решения Ссылка
Введём прямоугольную систему координат с началом в нижнем гвозде и рассмотрим движение шарика после того, как его отпустили. Сначала он движется по окружности радиусом $L$ с центром в верхнем гвозде. Затем, после того, как нить зацепится за нижний гвоздь, шарик движется по окружности радиусом $(L — l)$ с центром в нижнем гвозде. Далее, в некоторый момент времени сила натяжения нити обращается в ноль, и шарик начинает двигаться по параболе. Он перелетит через нижний гвоздь в том случае, если парабола пересекает ось у выше гвоздя. На рисунке показан предельный случай, соответствующий минимально возможной длине $l$, при которой шарик ещё перелетает через гвоздь. Пусть в тот момент, когда шарик начинает двигаться по параболе, нить составляет с горизонтом угол $\alpha$. Уравнение движения шарика для этого момента времени имеет вид:
$\frac{mv^{2}}{L - l} = mg \sin \alpha$,
а закон сохранения энергии (за ноль потенциальной энергии принят уровень, где вбит нижний гвоздь):
$\frac{mv^{2}}{2} = mg (l - (L-l) \sin \alpha)$.
Отсюда находим, что $\sin \alpha = \frac{2l}{3(L-l)}$ и $v = \sqrt{ 2gl/3}$.
Учитывая, что в рассматриваемый момент времени вектор скорости шарика перпендикулярен нити, запишем закон движения шарика по параболе:
$x = (L-l) \cos \alpha - v \sin \alpha \cdot t$,
$y = (L-l) \sin \alpha + v \cos \alpha \cdot t - \frac{gt^{2}}{2}$.
Условие того, что шарик перелетит через гвоздь, есть $y > 0$ при $x = 0$.
Из первого уравнения для времени полёта шарика до гвоздя имеем: $t = \frac{(L - l) \cos \alpha}{v \sin \alpha}$. Подставляя $t$ и $v$ в выражение для $y$, получаем: $4l \sin \alpha > 3 (L - l) \cos^{2} \alpha$. Отсюда, с учётом выражения для $\alpha$, окончательно находим: $l > (2 \sqrt{3} — 3)L \approx 0,46L$.