Условие задачи 1000Автор ошибся в выкладках.
Автор: Макоша Рыбкин
Введем систему координат с началом координат в положении второго гвоздя, осью $X$, направленной горизонтально в направлении начального движения шарика, и осью $Y$, направленной по вертикали (см.рисунок).
После того, как нить встретит нижний гвоздь, шарик будет двигаться по окружности с центром в начале координат и радиусом равным $L-l$. Достигнув некоторого угла, обозначим его $\alpha$, сила натяжения нити станет равна нулю, после чего шарик полетит свободно. Найдем скорость $v$, которую приобретет шарик при движении по окружности до угла $\alpha$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление нити:
$\frac{mv^{2} }{L - l} = mg \sin \alpha \Rightarrow v^{2} = (L-l)g \sin \alpha$
Обратим внимание, что, так как сила натяжения нити придвижении по окружности была направлена перпендикулярно скорости, она не совершала работу. Это означает, что полная энергия шарика на этом участке движения сохранялась. Примем уровень потенциальной энергии силы тяжести равно нулю при $y=0$.
$mgl = \frac{mv^{2} }{2} + mg (L - l) \sin \alpha \rightarrow mgl = \frac{mg(L-l) \sin \alpha }{2} + mg(L- l) \sin \alpha \Rightarrow \begin{cases} \sin \alpha = \frac{2l}{3(L-l)} \\ v = \sqrt{ \frac{2gl}{3} } \end{cases}$
В свободном полете шарик движется по оси $X$ с постоянной скоростью $v_{x} = v \sin \alpha$, а по оси $Y$ с начальной скоростью $v_{y} = v \cos \alpha$ постоянным ускорением $g$. Время $\tau$ за которое шарик долетит до точки $x = 0$ равно:
$\tau = \frac{(L - l) \cos \alpha }{v_{x} } = \frac{(L - l) \cos \alpha}{v \sin \alpha}$
Шарик перелетит через второй гвоздь, если в момент пересечения оси–в момент времени $\tau$ его координата $y$ будет больше нуля: $y > 0$:
$y = (L - l) \sin \alpha + v \cos \alpha \tau - \frac{g \tau^{2} }{2} >0 \Rightarrow (L - l) \frac{2l}{3(L - l)} + v \cos \alpha \frac{(L - l) \cos \alpha }{v \sin \alpha } - \frac{g \left ( \frac{(L - l) \cos \alpha }{ \sin \alpha } \right )^{2} }{2g(L - l) \sin \alpha} > 0 \Rightarrow \frac{2l}{3} + \frac{(L-l) \cos^{2} \alpha }{ \sin \alpha } - \frac{(L - l) \cos^{2} \alpha }{2 \sin^{3} \alpha } > 0$
Запомним этот момент
$\Rightarrow \frac{2l}{3} + \frac{3(L - l)^{2} }{2l} \left ( 1 - \frac{4l^{2} }{9(L -l)^{2} } \right ) - \frac{27(L-l)^{4} }{16l^{3} } \left ( 1 - \frac{4l^{2} }{9(L - l)^{2} } \right ) > 0 \Rightarrow \frac{2l}{3} + \frac{1}{6l} (9L^{2} - 18Ll + 5l^{2} ) - \frac{3(L-l)^{2} }{16l^{3} } (9L^{2} - 18Ll + 5l^{2} ) < 0 \Rightarrow \frac{2l}{3} - \frac{(9L^{2} - 18Ll + 5l^{2} )}{6l} \left ( \frac{9(L-l)^{2} }{8l^{2} } - 1 \right ) > 0 \Rightarrow \frac{2l}{3} > \frac{(9L^{2} - 18Ll + 5l^{2})(9L^{2} - 18Ll + l^{2})}{48l^{3} } \Rightarrow 32l^{4} > (9L^{2} - 18Ll + 5l^{2} )(9L^{2} - 18Ll + l^{2} )$
Таким образом, мы получили неравенство, решив которое можно найтиминимальное значение $l$. Но эта задача не простая и у автора задачи ошибка. Он, скорее всего,посчитал так
$\Rightarrow \frac{2l}{3} + \frac{(L - l) \cos^{2} \alpha }{ \sin \alpha } - \frac{(L-l) \cos^{2} \alpha }{2 \sin \alpha } > 0 \Rightarrow 4l \sin \alpha > 3(L-l) \cos^{2} \alpha \Rightarrow 2l \frac{2l}{3(L - l)} > 3(L-l) \left ( 1 - \left ( \frac{2l}{3(L - l)} \right )^{2} \right ) \Rightarrow 8l^{2} > 9(L - l)^{2} - 4l^{2} \Rightarrow l^{2} + 6lL - 3L^{2} > 0 \Rightarrow l > L(-3 + 2 \sqrt{3} )$