Найти все целые решения уравнения: $x^{3} + y^{3} = 1972$.
Подробнее
Сколько решений в целых числах имеет уравнение
$\frac{1}{1970} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$?
Подробнее
Найти наименьший корень уравнения
$x - [ \sqrt{x}]^{2} = n$;
($n$ - целое, $[ \sqrt{x}]$- целая часть $\sqrt{x}$).
Подробнее
Сколько решений в целых числах имеет уравнение
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{1960}$?
Подробнее
Даны положительные числа $a, b, c (a \geq b \geq c)$. Числа $x, y, z$ удовлетворяют условиям:
$\begin{cases} x + y + z = a + b + c \\ xyz = abc \end{cases}$
Доказать, что если каждое из чисел $x, y, z$ не больше $a$ и не меньше $c$, то $x, y, z$ равны в некотором порядке числам $a, b, c$.
Подробнее
Найти все целые решения системы уравнений
$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3. \end{cases}$
Подробнее
Сколько решений имеет система уравнений:
$\cos x_{1} = x_{2}$
$\cos x_{2} = x_{3}$
$\cdots$
$\cos x_{n - 1} = x_{n}$
$\cos x_{n} = x_{1}$?
Подробнее
Найти $n$ из уравнения
$\cos 40^{ \circ} + \cos 80^{ \circ} + \cdots + \cos 40^{ \circ} \cdot n = \cos 20^{ \circ}$.
Подробнее
Числа $x_{n}$ определяются рекуррентно:
$x_{n + 1} = \frac{x_{n}^{4} + 9 }{10x_{n} }, x_{1} = 2$.
Доказать, что $\frac{4}{5} < x_{n} \leq \frac{5}{4}$ при всех $n > 1$.
Подробнее
Числа $m, n$ - целые положительные и $\frac{m}{n} < \sqrt{2}$. Доказать, что $\sqrt{2} - \frac{m}{n} > \frac{1}{2 \sqrt{2} n^{2} }$.
Подробнее
Доказать, что наименьшее из чисел $(a - b)^{2}, (b - c)^{2}, (c - a)^{2}$ меньше или равно числу $0,5(a^{2} + b^{2} + c^{2})$.
Подробнее
Доказать неравенство
$n(1 + a^{2n}) - a^{n} \geq a^{2n-1} + a^{2n - 2} + \cdots + a^{2} + a$,
если $a > 0$ и $n$ - натуральное число.
Подробнее
Доказать неравенство
$(a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n})( \sqrt[k]{2} - 1) < \sqrt[k]{2a_{1}^{k} + 2^{2}a_{2}^{k} + \cdots + 2^{n}a_{n}^{k}}$,
если $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ - положительные числа, $k$ - фиксированное натуральное число.
Подробнее
Обозначим через $S(x)$ сумму цифр натурального числа $x$. Решить уравнения:
а) $x + S(x) + S(S(x)) = 1993$;
б) $x+S(x) + S{S(x)} + S(S(S(x))) = 1993$.
Подробнее
Известно, что число $n$ является суммой квадратов трех натуральных чисел. Показать, что число $n^2$ тоже является суммой квадратов трех натуральных чисел.
Подробнее