Каждая хорда, делящая площадь выпуклой плоской фигуры пополам, имеет длину, не превосходящую 1. Доказать, что площадь этой фигуры не превосходит $2 \pi$.
Подробнее
Для треугольника определим три числа: $R_{0}$ - радиус описанного круга, $R_{b}$ - радиус наименьшего круга, вмещающего в себя этот треугольник, и $R_{n}$ - наименьшее из чисел $R$ таких, что круги радиуса $R$ с центрами в вершинах треугольника в сумме полностью его покрывают. Доказать, что если какие-либо два из чисел $R_{0}, R_{b}$ и $R_{n}$ равны, то равны все три.
Подробнее
Для треугольной пирамиды определяются три числа: $R_{0}$ - радиус описанного шара, $R_{b}$ - радиус наименьшего шара, вмещающего в себя эту пирамиду, и $R_{n}$ - наименьшее из чисел $R$ таких, что шары радиуса $R$ с центрами в вершинах пирамиды в сумме полностью nov крывают пирамиду. Доказать, что если какие-либо два из чисел $R_{0}, R_{b}$ и $R_{n}$ равны, то равны все три.
Подробнее
В основании четырехгранной пирамиды - ромб с углом $60^{ \circ}$ при вершине А. Боковое ребро, выходящее из вершины А, равно стороне ромба. Доказать, что из остальных боковых ребер можно составить прямоугольный треугольник.
Подробнее
На какое наименьшее число остроугольных треугольников можно разрезать тупоугольный треугольник?
Подробнее
На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно разрезать правильный $m$-угольник ($m > 12$)?
Подробнее
Плоскость разбивается на многоугольники, каждый из которых окрашивается в один из трех цветов. Доказать, что при этом найдутся по крайней мере две точки, расстояние между которыми равно 1 и принадлежащие многоугольникам одного цвета. Если взять количество цветов, равное 7, то существуют такое разбиение плоскости и такая раскраска, что любые две точки, находящиеся на расстоянии 1, окрашены в разные цвета.
Подробнее
Дан многогранник, из каждой вершины которого исходят три ребра. Его грани окрашены четырьмя красками так, что любые две грани, имеющие общее ребро, окрашены разными красками. Доказать, что для любых двух цветов общее количество многоугольников этих цветов с нечетным числом сторон четно.
Подробнее
На плоскости рассматриваются самонепересекающиеся многоугольники, все стороны которых выражаются целыми числами, а углы прямые. Найти величину, наибольшей и наименьшей площади таких многоугольников, если все они имеют один и тот же данный периметр, равный $4n$ ($n$ - целое).
Подробнее
На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник $m \times n$ клеток. Какой максимальной длины несамопересекающийся путь можно провести по линиям сетки на прямоугольнике из угла прямоугольника в угол, ему противоположный?
Подробнее
Из одинаковых равносторонних треугольников черного и белого цвета сложен большой равносторонний треугольник, причем каждый из черных треугольников граничит по стороне лишь с четным числом белых треугольников, а каждый белый треугольник - с нечетным числом белых треугольников. Доказать, что маленькие треугольники, стоящие в вершинах большого треугольника, обязаны быть одного и того же цвета (рис.).
Подробнее
Из вершины А квадрата ABCD проведена прямая. Тангенс угла наклона этой прямой к стороне AD равен $\frac{k}{p}$ ($k$ и $p$ - натуральные числа). Точка $A_{1}$ пересечения этой прямой с границей квадрата ортогонально проектируется в точку $A_{2}$ на противоположной стороне квадрата. Из точки $A_{2}$ проводится прямая, параллельная прямой $AA_{1}$, вновь до пересечения с границей квадрата в точке $A_{3}$. Точка $A_{3}$ ортогонально проектируется на противоположную сторону квадрата в точку $A_{4}$ и т. д.
На сколько частей проведенные прямые разобьют квадрат?
Подробнее
На плоскости расположены $n$ окружностей ($n \geq 5$). Известно, что любые три из них имеют общую точку. Доказать, что и все $n$ окружностей имеют общую точку.
Подробнее
Дан выпуклый 1970-угольник. Рассматриваются все треугольники с вершинами в вершинах этого многоугольника. Доказать, что всякая точка плоскости, не лежащая ни на одной из сторон этих треугольников, покрыта четным числом указанных треугольников.
Подробнее
Окружность с центром $D$ проходит через точки $A, B$ и центр $O$ вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся его стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Доказать, что точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности.
Подробнее