Доказать, что если в треугольнике перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис к сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник - равнобедренный.
Подробнее
Каждая хорда, делящая площадь выпуклой плоской фигуры пополам, имеет длину, не превосходящую 1. Доказать, что площадь этой фигуры не превосходит $2 \pi$.
Подробнее
Для треугольника определим три числа: $R_{0}$ - радиус описанного круга, $R_{b}$ - радиус наименьшего круга, вмещающего в себя этот треугольник, и $R_{n}$ - наименьшее из чисел $R$ таких, что круги радиуса $R$ с центрами в вершинах треугольника в сумме полностью его покрывают. Доказать, что если какие-либо два из чисел $R_{0}, R_{b}$ и $R_{n}$ равны, то равны все три.
Подробнее
На какое наименьшее число остроугольных треугольников можно разрезать тупоугольный треугольник?
Подробнее
На какое наименьшее число тупоугольных треугольников можно разрезать правильный $m$-угольник ($m > 12$)?
Подробнее
Плоскость разбивается на многоугольники, каждый из которых окрашивается в один из трех цветов. Доказать, что при этом найдутся по крайней мере две точки, расстояние между которыми равно 1 и принадлежащие многоугольникам одного цвета. Если взять количество цветов, равное 7, то существуют такое разбиение плоскости и такая раскраска, что любые две точки, находящиеся на расстоянии 1, окрашены в разные цвета.
Подробнее
Дан многогранник, из каждой вершины которого исходят три ребра. Его грани окрашены четырьмя красками так, что любые две грани, имеющие общее ребро, окрашены разными красками. Доказать, что для любых двух цветов общее количество многоугольников этих цветов с нечетным числом сторон четно.
Подробнее
Из вершины А квадрата ABCD проведена прямая. Тангенс угла наклона этой прямой к стороне AD равен $\frac{k}{p}$ ($k$ и $p$ - натуральные числа). Точка $A_{1}$ пересечения этой прямой с границей квадрата ортогонально проектируется в точку $A_{2}$ на противоположной стороне квадрата. Из точки $A_{2}$ проводится прямая, параллельная прямой $AA_{1}$, вновь до пересечения с границей квадрата в точке $A_{3}$. Точка $A_{3}$ ортогонально проектируется на противоположную сторону квадрата в точку $A_{4}$ и т. д.
На сколько частей проведенные прямые разобьют квадрат?
Подробнее
На плоскости расположены $n$ окружностей ($n \geq 5$). Известно, что любые три из них имеют общую точку. Доказать, что и все $n$ окружностей имеют общую точку.
Подробнее
Дан выпуклый 1970-угольник. Рассматриваются все треугольники с вершинами в вершинах этого многоугольника. Доказать, что всякая точка плоскости, не лежащая ни на одной из сторон этих треугольников, покрыта четным числом указанных треугольников.
Подробнее
Окружность с центром $D$ проходит через точки $A, B$ и центр $O$ вневписанной окружности треугольника $ABC$, касающейся его стороны $BC$ и продолжений сторон $AB$ и $AC$. Доказать, что точки $A, B, C$ и $D$ лежат на одной окружности.
Подробнее
Для двух данных различных точек плоскости $A$ и $B$ найдите геометрическое место таких точек $C$, что треугольник $ABC$ остроугольный, а его угол $A$ - средний по величине.
Комментарий. Под средним по величине углом мы понимаем угол, который не больше одного из углов, и не меньше другого. Так, например, мы считаем, что у равностороннего треугольника любой угол - средний по величине.
Подробнее
Бумажный треугольник с углами $20^{ \circ}, 20^{ \circ}, 140^{ \circ}$ разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получится треугольник, подобный исходному?
Подробнее
Дан выпуклый четырехугольник $ABMC$, в котором $AB = BC, \angle BAM = 30^{ \circ}, \angle ACM = 150^{ \circ}$. Докажите, что $AM$ - биссектриса угла $BMC$.
Подробнее
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ внешним образом построен квадрат с центром $O$. Точки $M$ и $N$ - середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно, а длины этих сторон равны соответственно $a$ и $b$. Найти максимум суммы $OM + ON$, когда угол $ACB$ меняется.
Подробнее