Окружности $S_1$ и $S_2$ касаются внешним образом в точке $F$. Прямая $l$ касается $S_1$ и $S_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая, параллельная прямой $l$, касается $S_2$ в точке $C$ и пересекает $S_1$ в двух точках. Докажите, что точки $A, F$ и $C$ лежат на одной прямой.
Подробнее
На прямой отмечены $n$ различных синих точек и $n$ различных красных точек. Докажите, что сумма попарных расстояний между точками одного цвета не превосходит суммы попарных расстояний между точками разного цвета.
Подробнее
Трапеция $ABCD (AB \parallel CD)$ такова, что на ее сторонах $AD$ и $BC$ существуют точки $P$ и $Q$ соответственно, удовлетворяющие условиям: $ \angle APB = \angle CPD, \angle AQB = \angle CQD$. Докажите, что точки $P$ и $Q$ равноудалены от точки пересечения диагоналей трапеции.
Подробнее
Пусть $a, b$ и $с$ - длины сторон треугольника, $m_а, m_b$ и $m_c$ - длины медиан, проведенных к этим сторонам, $D$ - диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите, что $ \frac {a^2+b^2}{m_c}+ \frac {b^2+c^2}{m_a}+ \frac {c^2+a^2}{m_b} \leq 6D$.
Подробнее
В правильном $(6n + 1)$-угольнике $K$ вершин покрашено в красный цвет, а остальные - в синий. Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
Подробнее
Каждая из окружностей $S_1, S_2$ и $S_3$ касается внешним образом окружности $S$ (в точках $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно) и двух сторон треугольника $ABC$ (рис.). Докажите, что прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.
Подробнее
Две окружности $S_1$ и $S_2$ касаются внешним образом в точке $F$. Их общая касательная касается $S_1$ и $S_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая, параллельная $AB$, касается окружности $S_2$ в точке $C$ и пересекает окружность $S_1$ в точках $D$ и $E$. Докажите, что общая хорда окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BDE$, проходит через точку $F$.
Подробнее
Хорда $CD$ окружности с центром $O$ перпендикулярна ее диаметру $AB$, а хорда $AE$ делит пополам радиус $OC$. Докажите, что хорда $DE$ делит пополам хорду $BC$.
Подробнее
Точки $A_2, B_2$ и $C_2$ - середины высот $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$. Найдите сумму углов $B_2A_1C_2, C_2B_1A_2$ и $A_2C_1B_2$.
Подробнее
Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.
Подробнее
Даны полуокружность с диаметром $AB$ и центром $O$ и прямая, пересекающая полуокружность в точках $C$ и $D$, а прямую $AB$ - в точке $M (MB < MA, MD < MC)$. Пусть $K$ - вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $AOC$ и $DOB$. Докажите, что угол $MKO$ прямой.
Подробнее
Центры $O_1 , O_2 $ и $O_3$ трех непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек $O_1, O_2$ и $O_3$ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке. Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.
Подробнее
В равнобедренном треугольнике $ABC (AC = BC)$ точка $O$ - центр описанной окружности, точка $I$ - центр вписанной окружности, а точка $D$ на стороне $BC$ такова, что прямые $OD$ и $BI$ перпендикулярны. Докажите, что прямые $ID$ и $AC$ параллельны.
Подробнее
На стороне $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ взяты точки $E$ и $F$ (точка $E$ ближе к точке $B$, чем точка $F$). Известно, что $ \angle BAE = \angle CDF$ и $\angle EAF = \angle FDE$. Докажите, что $\angle FAC = \angle EDB$.
Подробнее
Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удаленной от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна $180^{\circ}$.
Подробнее