Дано $a + b + c$, где $a, b, c$ - положительные числа. Доказать, что $a^{ \frac{2}{3}} + b^{ \frac{2}{3}} > c^{ \frac{2}{3}}$.
Подробнее
Доказать, что $-x^3 + x^2 \leq \frac{1}{4}$, если $0 \leq x \leq 1$.
Подробнее
Доказать неравенство $\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} < 5$ при условии, что $a + b + c = 1$, а подкоренные выражения неотрицательны.
Подробнее
Доказать неравенство $(a + b)^n < 2^n (a^n + b^n)$, если $а > 0, b > 0$, $n$ - натуральное число.
Подробнее
Доказать, что $(a^m + b^m)^{ \frac{1}{m}} \leq (a^n + b^n)^{ \frac{1}{n}}$, где $a \geq 0, b \geq 0, m \geq n, m$ и $n$ - натуральные числа.
Подробнее
Доказать, что $n! < \left (\frac {n+1}{2} \right )^n$ при $n>1$.
Подробнее
Доказать неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} > 3$, где $a, b$ и $c$ - положительные и не равные друг другу числа, не пользуясь неравенствами между средним арифметическим и средним геометрическим трех чисел.
Подробнее
Доказать, что при любых действительных $x$ и $у$ имеет место неравенство $(a \cdot 2^x + b \cdot 3^y + 1)^2 \leq (4^x + 9^y + 1)(a^2 + b^2 + 1)$.
Подробнее
Доказать, что $(x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10 \geq 1$ при всех действительных значениях $х$.
Подробнее
Доказать, что если действительные числа $x, у, z$, не равные нулю, удовлетворяют равенствам: $x+y+z = xyz$ и $x^2 = yz$, то $x^2 \geq 3$.
Подробнее
Доказать, что если $x, у, z$ - действительные числа, удовлетворяющие равенствам $x + y + z = 5$, $yz + zx + xy = 8$, то $1 \leq x \leq \frac{7}{3}$, $1 \ leq y \leq \frac{7}{3}$, $1 \leq z \leq \frac{7}{3}$.
Подробнее
Решить неравенство $ax^2 + x + 1 > 0$, где $a \neq 0$ - произвольное действительное число.
Подробнее
Найти все действительные значения $m$, при которых квадратный трехчлен $x^2 + mx + (m^2 + 6m)$ будет отрицателен при всех значениях $x$, удовлетворяющих неравенству $1 < x < 2$.
Подробнее
Найти все действительные значения $a$, при которых корни многочлена $x^2 + x + a$ будут действительными и оба корня будут больше $a$.
Подробнее
При каких значениях $k$ корни многочлена $k^2x^2 + kx - 2$ будут действительными и один корень по абсолютной величине будет больше 1, а другой по абсолютной величине будет меньше 1?
Подробнее