Радиус окружности равен 10, данная точка удалена от центра на расстояние, равное 15. Найдите её наименьшее и наибольшее расстояния от точек окружности.
Подробнее
Даны два круга - один внутри другого. Через их центры проведён в большем круге диаметр, который окружностью меньшего круга делится на три части, равные 5, 8 и 1. Найдите расстояние между центрами кругов.
Подробнее
Докажите, что из всех хорд, проходящих через точку $A$, взятую внутри круга и отличную от центра, наименьшей будет та, которая перпендикулярна диаметру, проходящему через точку $A$.
Подробнее
Даны две концентрические окружности радиусов 1 и 3 с общим центром $O$. Третья окружность касается их обеих. Найдите угол между касательными к третьей окружности, проведёнными из точки $O$.
Подробнее
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $c$. Центры трёх окружностей радиуса $\frac{c}{5}$ находятся в его вершинах. Найдите радиус четвёртой окружности, которая касается трёх данных и не содержит их внутри себя.
Подробнее
Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла, равного $\alpha$, хорды, равные $a$, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно $b$.
Подробнее
В треугольнике $ABC$ на наибольшей стороне $BC$, равной $b$, выбирается точка $M$. Найдите наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BAM$ и $ACM$.
Подробнее
В параллелограмме $ABCD$ известны стороны $AB=a$, $BC=b$ и угол $\angle ABC=\alpha$. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BCD$ и $DAB$.
Подробнее
Во вписанном в окружность четырёхугольнике две противоположные стороны взаимно перпендикулярны, одна из них равна $a$, а прилежащий к ней угол делится диагональю на части $\alpha$ и $\beta$ (угол $\alpha$ прилежит к данной стороне). Найдите диагонали четырёхугольника.
Подробнее
Окружность радиуса $r$ вписана в угол, равный $\alpha$. Другая окружность радиуса $R$ касается одной стороны угла в той же точке, что и первая, пересекая вторую сторону угла в точках $A$ и $B$. Найдите $AB$.
Подробнее
Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$ проходит через точки $A$ и $B$ и пересекает прямую $BC$ в точке $M$, отличной от $B$ и $C$. Найдите расстояние от точки $O$ до центра окружности, описанной около треугольника $ACM$.
Подробнее
На плоскости расположены два квадрата $ABCD$ и $BKLN$ так, что точка $K$ лежит на продолжении $AB$ за точку $B$, а $N$ лежит на луче $BC$. Найдите угол между прямыми $DL$ и $AN$.
Подробнее
Теорема Нагеля. В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $AA_{1}$; $O$ - центр описанной около треугольника $ABC$ окружности. Докажите, что прямые $A_{1}B_{1}$ и $CO$ перпендикулярны.
Подробнее
Даны две концентрические окружности. В большей окружности даны две взаимно перпендикулярные хорды, касательные к меньшей. Каждая из хорд делится другой на части, равные 3 и 7. Найдите радиус меньшей окружности.
Подробнее
Радиусы двух концентрических окружностей относятся как $7:4$, а ширина кольца равна 12. Найдите радиус меньшей окружности.
Подробнее