Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 8774
2022-10-26 
В треугольнике $ABC$ окружность радиуса $\frac{13}{3}$ с центром на отрезке $BC$ проходит через точку $B$ и касается отрезка $AC$ в точке $D$ такой, что угол $ADB$ равен $arctg\frac{3}{2}$. Найдите:
1) высоту $BF$ треугольника $ABC$ и длину отрезка $CD$;
2) площадь треугольника $ABC$, если $AB=CD$.
Решение:
1) Обозначим $\angle ADB=\alpha$. Тогда
$tg\alpha=\frac{3}{2},~\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},~\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},~$
$tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^{2}\alpha}=\frac{3}{1-\frac{9}{4}}=-\frac{12}{5}.$
Пусть $O$ - центр окружности. По теореме об угле между касательной и хордой $\angle BOD=2\angle ADB=2\alpha$. Из равнобедренного треугольника $BOD$ находим, что
$BD=2OB\sin\frac{1}{2}\angle BOD=2OB\sin\alpha=2\cdot\frac{13}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}.$
Следовательно,
$BE=BD\sin\alpha=2\sqrt{13}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=6.$
Из прямоугольного треугольника $COD$ находим, что
$CD=ODtg\angle COD=ODtg(180^{\circ}-2\alpha)=-\frac{13}{3}\cdot\left(-\frac{12}{5}\right)=\frac{52}{5}.$
2) Из прямоугольных треугольников $ABE$ и $BDE$ находим, что
$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{CD^{2}-BE^{2}}=\sqrt{\left(\frac{52}{5}\right)^{2}-6^{2}}=\frac{\sqrt{52^{2}-30^{2}}}{5}=\frac{\sqrt{(52-30)(52+30)}}{5}=\frac{\sqrt{22\cdot82}}{5}=\frac{2\sqrt{11\cdot41}}{5}=\frac{2}{5}\sqrt{451},$
$DE=\sqrt{BD^{2}-BE^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-6^{2}}=\sqrt{52-36}=4.$
Тогда
$AC=AE+DE+CD=\frac{2}{5}\sqrt{451}+4+\frac{52}{5}=\frac{2}{5}(36+\sqrt{451}).$
Следовательно,
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BE=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}(36+\sqrt{451})\cdot6=\frac{6}{5}(36+\sqrt{451}).$
В треугольнике $ABC$ окружность радиуса $\frac{13}{3}$ с центром на отрезке $BC$ проходит через точку $B$ и касается отрезка $AC$ в точке $D$ такой, что угол $ADB$ равен $arctg\frac{3}{2}$. Найдите:
1) высоту $BF$ треугольника $ABC$ и длину отрезка $CD$;
2) площадь треугольника $ABC$, если $AB=CD$.
Решение:
1) Обозначим $\angle ADB=\alpha$. Тогда
$tg\alpha=\frac{3}{2},~\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{13}},~\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{13}},~$
$tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^{2}\alpha}=\frac{3}{1-\frac{9}{4}}=-\frac{12}{5}.$
Пусть $O$ - центр окружности. По теореме об угле между касательной и хордой $\angle BOD=2\angle ADB=2\alpha$. Из равнобедренного треугольника $BOD$ находим, что
$BD=2OB\sin\frac{1}{2}\angle BOD=2OB\sin\alpha=2\cdot\frac{13}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=2\sqrt{13}.$
Следовательно,
$BE=BD\sin\alpha=2\sqrt{13}\cdot\frac{3}{\sqrt{13}}=6.$
Из прямоугольного треугольника $COD$ находим, что
$CD=ODtg\angle COD=ODtg(180^{\circ}-2\alpha)=-\frac{13}{3}\cdot\left(-\frac{12}{5}\right)=\frac{52}{5}.$
2) Из прямоугольных треугольников $ABE$ и $BDE$ находим, что
$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{CD^{2}-BE^{2}}=\sqrt{\left(\frac{52}{5}\right)^{2}-6^{2}}=\frac{\sqrt{52^{2}-30^{2}}}{5}=\frac{\sqrt{(52-30)(52+30)}}{5}=\frac{\sqrt{22\cdot82}}{5}=\frac{2\sqrt{11\cdot41}}{5}=\frac{2}{5}\sqrt{451},$
$DE=\sqrt{BD^{2}-BE^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{13})^{2}-6^{2}}=\sqrt{52-36}=4.$
Тогда
$AC=AE+DE+CD=\frac{2}{5}\sqrt{451}+4+\frac{52}{5}=\frac{2}{5}(36+\sqrt{451}).$
Следовательно,
$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BE=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}(36+\sqrt{451})\cdot6=\frac{6}{5}(36+\sqrt{451}).$
