Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 6661
2021-11-14 
Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB=3$, $AC=\sqrt{73}$ медианой $AM=4$.
а) Докажите, что медиана $AM$ перпендикулярна стороне $AB$.
б) Найдите высоту треугольника $ABC$, проведённую из вершины $A$.
Решение:
а) На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD=AM=4$ (рис.1). Тогда $ABDC$ - параллелограмм. Поэтому $CD=AB=3$ и $CD\parallel AB$. Треугольник $ACD$ прямоугольный с прямым углом при вершине $D$, т.к. $AC^{2}=73=64+9=AD^{2}+CD^{2}$. Следовательно, $\angle BAM=\angle ADC=90^{\circ}$.
б) Пусть $AH$ - высота треугольника $ABC$ (рис.2). Из прямоугольного треугольника $AMB$ находим, что $BM=5$. Следовательно,
$AH=\frac{AB\cdot AM}{BM}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}.$
Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB=3$, $AC=\sqrt{73}$ медианой $AM=4$.
а) Докажите, что медиана $AM$ перпендикулярна стороне $AB$.
б) Найдите высоту треугольника $ABC$, проведённую из вершины $A$.
Решение:
а) На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD=AM=4$ (рис.1). Тогда $ABDC$ - параллелограмм. Поэтому $CD=AB=3$ и $CD\parallel AB$. Треугольник $ACD$ прямоугольный с прямым углом при вершине $D$, т.к. $AC^{2}=73=64+9=AD^{2}+CD^{2}$. Следовательно, $\angle BAM=\angle ADC=90^{\circ}$.
б) Пусть $AH$ - высота треугольника $ABC$ (рис.2). Из прямоугольного треугольника $AMB$ находим, что $BM=5$. Следовательно,
$AH=\frac{AB\cdot AM}{BM}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}.$
