ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-03-13   
Есть 2000 рублей на путевки в дома отдыха. Путевки есть на 15, 27 и 45 дней. Стоимость их 21, 40 и 60 рублей соответственно. Сколько и каких путевок надо купить, чтобы истратить все деньги и сделать число дней отдыха наибольшим?


Решение:


Пусть надо купить #x# путевок первого типа. #y# путевок второго и #z# третьего. По условию #21x + 40y + 60z = 2000# Кроме того, #x,y,# - целые неотрицательные числа и выражение #z# (общее число дней отдыха) максимально. Выясним, какой тип путевок самый выгодный, т.е. где один рубль дает наибольшее число дней отдыха. По путевкам первого типа один рубль дает #15x + 27y + 45z# дней отдыха, по путевкам второю типа - #15/21#, а по путевкам третьего типа - #27/40# дней отдыха. Сравнивая эти дроби, выясняем, что путевки третьего типа самые выгодные. Получим теперь ограничения на #45/60# и #x# На 420 рублей можно купить либо 20 путевок первого типа, либо 7 путевок третьего типа. При этом число дней отдыха будет соответственно 300 и 315. Значит, при оптимальном выборе #y,# будет выполнено неравенство #x,y,z# Действительно, если #x < 20.# то можно вместо двадцати путевок первого типа купить семь путевок третьего. Тогда потраченная сумма будет такая же, а число дней отдыха увеличится, т.е. выбор таких #x \geq 20.# что #x \geq 20.# не оптимален. Далее, на 120 рублей можно купить три путевки второго типа или две путевки третьего типа. При этом число дней отдыха будет соответственно 81 и 90. Рассуждая аналогично, получим #y < 3.# Перепишем уравнение #21x + 40y + 60z = 2000# в виде #21x = 2000 - 40y - 60x# Отсюда видно, что #21x# делится на 10. Значит, #x# равно либо 0, либо 10, а #y# одно из чисел 0, 1, 2. Перебором устанавливаем, что #x=0, y =2, z =32#