Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 997
2014-03-13 
Числа #\frac{1}{17}, \frac{1}{15}, \frac{1}{13}# являются членами арифметической прогрессии. Каково наибольшее возможное значение разности прогрессии?
Решение:
Можно считать, что #\frac{1}{17} = a_{1}, \frac{1}{15} = a_{m}, \frac{1}{13} = a_{n}# и #1 < m < n.# Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии. Получим: #a_{m} = a_{1} + (m-1) \cdot d, a_{n} = a_{1} + (n-1) \cdot d,# где #d# разность прогрессии. Тогда #\frac{1}{15} - \frac{1}{17} = (m-1) \cdot d, \frac{1}{13} - \frac{1}{15} = (n-m) \cdot d.# Отсюда #13 \cdot (n-m) = 17 \cdot (m-1),# т.е. #13n - 30m = -17.# Последнее уравнение имеет следующее решение: #\begin{cases} n = 1 + 30t,\\ m = 1 + 13t, \end{cases}# где #t \in \mathbf{N}.# Подставив это решение в соотношение #\frac{1}{13} - \frac{1}{15} = (n-m) \cdot d,# получим: #d = \frac{2}{13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot t}.# Очевидно, что наибольшее значение #d# получится при #t = 1.#
Числа #\frac{1}{17}, \frac{1}{15}, \frac{1}{13}# являются членами арифметической прогрессии. Каково наибольшее возможное значение разности прогрессии?
Решение:
Можно считать, что #\frac{1}{17} = a_{1}, \frac{1}{15} = a_{m}, \frac{1}{13} = a_{n}# и #1 < m < n.# Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии. Получим: #a_{m} = a_{1} + (m-1) \cdot d, a_{n} = a_{1} + (n-1) \cdot d,# где #d# разность прогрессии. Тогда #\frac{1}{15} - \frac{1}{17} = (m-1) \cdot d, \frac{1}{13} - \frac{1}{15} = (n-m) \cdot d.# Отсюда #13 \cdot (n-m) = 17 \cdot (m-1),# т.е. #13n - 30m = -17.# Последнее уравнение имеет следующее решение: #\begin{cases} n = 1 + 30t,\\ m = 1 + 13t, \end{cases}# где #t \in \mathbf{N}.# Подставив это решение в соотношение #\frac{1}{13} - \frac{1}{15} = (n-m) \cdot d,# получим: #d = \frac{2}{13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot t}.# Очевидно, что наибольшее значение #d# получится при #t = 1.#
