Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 996
2014-03-13 
За время хранения вклада в банке проценты но нему начисли ежемесячно сначала в размере #5%# в месяц, затем #11 \frac{1}{9} \%,# потом #7 \frac{1}{7} \%# и, наконец. #12 \%# в месяц. Известно, что под действием каждой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на #180 \%# Определите срок хранения вклада.
Решение:
Пусть #x,y,z,u# - количества месяцев хранения вклада для разных процентных ставок. Если в месяц начисляется #k \%,# то вклад величиной #A# через месяц будет равен #\left ( 1 + \frac{k}{100} \right ) \cdot A,# а через #x# месяцев #\left ( 1 + \frac{k}{100} \right )^{x} \cdot A,# Имеем: #\left ( 1 + \frac{5}{100} \right )^{x} \cdot \left ( 1 + \frac{1}{9} \right )^{y} \cdot \left ( 1 + \frac{1}{14} \right )^{z} \cdot \left ( 1 + \frac{12}{100} \right )^{u} \cdot A = \frac{280}{100} \cdot A,# т.е. #\left ( \frac{21}{20} \right )^{x} \cdot \left ( \frac{10}{9} \right )^{y} \cdot \left ( \frac{15}{14} \right )^{z} \cdot \left ( \frac{28}{25} \right )^{u} = \frac{14}{9}.# Ð азложив на простые множители, получим: #(3 \cdot 7 \cdot 5^{-1} \cdot 2^{-2})^{x} \cdot (2 \cdot 5 \cdot 3^{-2})^{y} \cdot (3 \cdot 5 \cdot 2^{-1} \cdot 7^{-1})^{z} \cdot (2^{2} \cdot 7 \cdot 5^{-2})^{u} = 2 \cdot 7 \cdot 5^{-1}.# Согласно основной теореме арифметики: #\begin{cases} -2x + y - z + 2u = 1, \\ x - 2y + z = 0, \\ -x + y + z + 2u = -1, \\ x + z + u = 1, \end{cases}# Ð ешив эту систему, найдем сумму #x + y + z + u.#
За время хранения вклада в банке проценты но нему начисли ежемесячно сначала в размере #5%# в месяц, затем #11 \frac{1}{9} \%,# потом #7 \frac{1}{7} \%# и, наконец. #12 \%# в месяц. Известно, что под действием каждой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на #180 \%# Определите срок хранения вклада.
Решение:
Пусть #x,y,z,u# - количества месяцев хранения вклада для разных процентных ставок. Если в месяц начисляется #k \%,# то вклад величиной #A# через месяц будет равен #\left ( 1 + \frac{k}{100} \right ) \cdot A,# а через #x# месяцев #\left ( 1 + \frac{k}{100} \right )^{x} \cdot A,# Имеем: #\left ( 1 + \frac{5}{100} \right )^{x} \cdot \left ( 1 + \frac{1}{9} \right )^{y} \cdot \left ( 1 + \frac{1}{14} \right )^{z} \cdot \left ( 1 + \frac{12}{100} \right )^{u} \cdot A = \frac{280}{100} \cdot A,# т.е. #\left ( \frac{21}{20} \right )^{x} \cdot \left ( \frac{10}{9} \right )^{y} \cdot \left ( \frac{15}{14} \right )^{z} \cdot \left ( \frac{28}{25} \right )^{u} = \frac{14}{9}.# Ð азложив на простые множители, получим: #(3 \cdot 7 \cdot 5^{-1} \cdot 2^{-2})^{x} \cdot (2 \cdot 5 \cdot 3^{-2})^{y} \cdot (3 \cdot 5 \cdot 2^{-1} \cdot 7^{-1})^{z} \cdot (2^{2} \cdot 7 \cdot 5^{-2})^{u} = 2 \cdot 7 \cdot 5^{-1}.# Согласно основной теореме арифметики: #\begin{cases} -2x + y - z + 2u = 1, \\ x - 2y + z = 0, \\ -x + y + z + 2u = -1, \\ x + z + u = 1, \end{cases}# Ð ешив эту систему, найдем сумму #x + y + z + u.#
