2022-11-26
Даны четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$. Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через $A$ и $B$, а другая - через $C$ и $D$, пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.
Решение:
Рассмотрим сначала случай, когда точки не лежат на одной прямой. Если, например, $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AB$, то существует окружность $\omega$, проходящая через $C$ и $D$ и касающаяся $AB$ (см. задачу 3919). Тогда через $A$ и $B$ можно провести окружность достаточно большого радиуса, не пересекающую $\omega$. Следовательно, отрезки $AB$ и $CD$ должны пересекаться.
Пусть $O$ - точка пересечения серединных перпендикуляров к этим отрезкам. Две окружности с центром $O$ и радиусами $OA$ и $OC$ либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на одной окружности. По теореме о радикальных осях трёх окружностей (см. задачу 9527) общая хорда любых двух окружностей, проходящих через $A$, $B$ и $C$, $D$ соответственно, проходит через точку пересечения $AB$ и $CD$.
Если же все точки лежат на одной прямой, то, очевидно, что отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются, а общая хорда окружностей пересекает прямую, на которой лежат точки, в точке $P$, принадлежащей обоим отрезкам и удовлетворяющей равенству $PA\cdot PB=PC\cdot PD$ (см. задачу 6098). Эти условия определяют точку $P$ однозначно.