Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 990
2014-03-13 
Найдите минимальный член последовательности #a_{n} = 2n^{2} - 24n +69 - \frac{9}{(3n-22)^{2} + 3}#, где #n \in \mathbf{N}#
Решение:
Выделим в записи общего члена последовательности #a_{n} = 2n^{2} - 24n +69 - \frac{9}{(3n-22)^{2} + 3}# два слагаемых: #a_{n}^{*} = 2n^{2} - 24n +69 \text{и} \: a_{n}^{**} = - \frac{9}{(3n-22)^{2} + 3}.# Каждое из этих слагаемых представляет собой функции #y_{1} = 2x^{2} - 24x + 69# и #y_{2} = - \frac{9}{(3x-22)^{2} + 3}# при натуральных значениях аргумента #x = n.# Легко заметить, что при #x \geq 8# обе функции монотонно возрастают. Для функции #y_{1},# являющейся квадратным трехчленом, это утверждение очевидно. Для функции #y_{2}# такое заключение сразу следует из монотонного возрастания знаменателя дроби при #x \geq 8.# Так же легко доказывается, что при #x \leq 6# обе функции монотонно убывают. Таким образом. наименьшее значение функции #y = 2x^{2} - 24x + 69 - - \frac{9}{(3x-22)^{2} + 3}# следует искать на отрезке #6 \leq x \leq 8# а общего члена последовательности - среди чисел #n = 6,n = 7, n = 8# Вычислив #a_{6} = - 3 frac{9}{10}, a_{7} = - 3 frac{1}{4}, a_{8} = - 3 frac{5}{7},# установим, что минимальным членом последовательности является шестой член.
Найдите минимальный член последовательности #a_{n} = 2n^{2} - 24n +69 - \frac{9}{(3n-22)^{2} + 3}#, где #n \in \mathbf{N}#
Решение:
Выделим в записи общего члена последовательности #a_{n} = 2n^{2} - 24n +69 - \frac{9}{(3n-22)^{2} + 3}# два слагаемых: #a_{n}^{*} = 2n^{2} - 24n +69 \text{и} \: a_{n}^{**} = - \frac{9}{(3n-22)^{2} + 3}.# Каждое из этих слагаемых представляет собой функции #y_{1} = 2x^{2} - 24x + 69# и #y_{2} = - \frac{9}{(3x-22)^{2} + 3}# при натуральных значениях аргумента #x = n.# Легко заметить, что при #x \geq 8# обе функции монотонно возрастают. Для функции #y_{1},# являющейся квадратным трехчленом, это утверждение очевидно. Для функции #y_{2}# такое заключение сразу следует из монотонного возрастания знаменателя дроби при #x \geq 8.# Так же легко доказывается, что при #x \leq 6# обе функции монотонно убывают. Таким образом. наименьшее значение функции #y = 2x^{2} - 24x + 69 - - \frac{9}{(3x-22)^{2} + 3}# следует искать на отрезке #6 \leq x \leq 8# а общего члена последовательности - среди чисел #n = 6,n = 7, n = 8# Вычислив #a_{6} = - 3 frac{9}{10}, a_{7} = - 3 frac{1}{4}, a_{8} = - 3 frac{5}{7},# установим, что минимальным членом последовательности является шестой член.
